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1、名校名 推荐第 5 课时数列的综合应用一、 填空题1. 在等差数列 a n 中，满足最大值，则 n _答案： 9解析：设公差d，由题设知4即 a1 (n 1) 33a1 0，解得3a4 7a7，且 a1 0， Sn 是数列 a n 的前 n 项和，若Sn取得43(a 1 3d) 7(a 1 6d) ，得 d 33a1 0，解不等式an 0，37n，则 n9时， an 0，同理可得n10 时， an 0，故4当 n 9 时， Sn 取得最大值1a a1092. 在等比数列 a n 中，各项都是正数， 且 a1， a3，2a2 成等差数列， 则 _2a7 a8答案： 3 2 211解析： a 1，
2、2a3，2a2 成等差数列， 2 2a3 a1 2a2，即 a3 a1 2a2. 设等比数列 a n3122112112的公比为 q 且 q 0，则 a a q ，a a q， aq a 2a q， q 1 2q，解得 q 1 2a9 a10a9（ 1 q）22或 1 2( 舍 ) ，78 7 q (21) 32 2.a aa （ 1 q）3. 在数列 a n 中， Sn 是其前 n 项和，且 Sn 2an 1，则数列的通项公式an _答案： a 2n 1n解析：依题意得Sn 1 2an 1 1， Sn 2an 1，两式相减得 Sn 1 Sn 2an1 2an，即 an 1 2an. 又 S1
3、 2a1 1a1，所以 a1 1，所以数列 a n 是以 a1 1 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 an 2n1.4. 等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0. 若 a2，a3，a6 成等比数列，则 a n 前 6 项的和为_答案： 24解析：设等差数列的公差为22d，由 a2 ，a3，a6 成等比数列可得 a3 a2a6，即(1 2d) (1d)(1 5d) ，整理可得2 2d0. 因为公差不为0，所以 d 2，数列的前6 项和为 S d616（ 61）6（ 6 1）6ad61 ( 2) 24.225.设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn，若 S3，S9， S6 成等差数列
4、，且 a2 a5 4，则 a8 的值为 _答案： 2 的前 n 项和为 S ，若 S ，S ， S 成等差数列，且a a 4，解析： 等比数列 ann39625a1（ 1 q9） a1（ 1q3 ） a1（ 1q6）21 q，31 q 1，1 q1 q解得 a1q 8， q 2， a 8a1q a1q4 4， a1q7 (a 1q)(q 3) 28 1 2. 46. 在等差数列 a n 中，已知首项 a10，公差 d 0. 若 a1 a2 60，a2 a3 100，则 5a1 a5 的最大值为 _答案： 200解析：由 a1 a260， a2 a3 100 得 2a1 d60， 2a13d10
5、0， a1 0，d 0. 由线性规划的知识得5a1 a5 6a1 4d，过点 (20 ，20) 时，取最大值为200.S7. 设正项数列 a 的前 n 项和是S ， a 和 S 都是等差数列，则n 10的最小值是annnnn_答案： 211名校名 推荐na1 dd 2n1dn1解析：由题设知S 2 n 2n . 又S 为等差数列，从而a2，从而a a (n d21)d dn1nd 2，Sn 102（ n 10）（ n 10） 2（ n10） 2. 令 2n 1 2 ， S 2 nan112n1d n22 n 2t 122 1014411441t(t 1) ，原式t 4 t t 42 4 2t
6、t 42 21，从而当 t 21，即 n11 时，原式取到最小值21.8. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走， 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地”问此人第4 天和第5 天共走了 _里答案： 36解析：由题意知， 此人每天走的里数构成公比为1a ，2的等比数列， 设等比数列的首项为1111 6a2 378，解得 a1 192，所以 a4192 1 24，a524 1 12，a4 a5 24 12则有18
7、21 236，所以此人第4 天和第5 天共走了36 里9.已知 a ，b 均为等比数列，其前Snn 项和分别为 S ，T ，若对任意的 n N，总有 Tnnnnnn33 1a_4，则 b3答案： 9n解析：设 a n ， b n 的公比分别为q，q，n3 1，S T4na a q52a a q a q 当 n 1 时， a1 b1. 当 n 2 时，11 . 当 n 3 时，1112 7，b1 qb12b1 b1q b1q22a3a1q29. 2q 5q 3， 7q 7q q q 6 0，解得 q 9， q 3，b3b1q210. 现有一根 n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最
8、上面一节长为 10 cm，最下面的三节长度之和为 114 cm，第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n _答案： 16解析：设每节竹竿的长度对应的数列为a n ，公差为 d(d 0) 由题意知 a1 10， an2 an2 114，得 3an1 114，解得 an 1 38， (a 1an 1 an 2 114，a6 a1an. 由 anan 122 d) ，解得 d 2， a a (n 2)d 38，即 105d) a (an1 d) ，即 (10 5d) 10(381n 11 2(n 2) 38，解得 n 16.二、 解答题11. 设数列 a n 的前 n 项和为 Sn，满足 2
9、Sn an 1 2n 11，且 a1，a25，a3 成等差数列(1) 求 a1， a2 的值；(2)求证：数列 a n 2n 是等比数列，并求数列a n 的通项公式(1) 解：由已知，得 2a1a2 3 ，2(a 1 a2) a3 7，又 a1， a25， a3 成等差数列，所以 a1a3 2a2 10 ，2名校名 推荐解，得a11， a2 5.(2) 明：由已知， n N ，2(S n 1 Sn) an 2 an1 2n2 2n1，即 an 2 3an 1 2n 1，即 an 13an 2n(n 2) ，由 (1) 得， a2 3a1 2， a n 1 3an2n(n N ) ，从而有 an
10、 12n 1 3an 2n 2n1 3an32n 3(a n 2n) nn1n 1又 a 2 0， aa 23，2 0，an 2n1n 数列 a n 2n 是等比数列，且公比 3，nn 1n，即 a nn a 2(a 2) 3 33 2 .n1n12. 商学院 推 后勤社会化改革，与桃园新区商定， 由 区向建 行 款500 万元在桃园新区 学院建一 可容 一千人的学生公寓，工程于2017 年初 工，年底竣工并交付使用，公寓管理 采用收 建行 款形式( 年利率5 ，按复利 算 ) ，公寓所收 用除去物 管理 和水 18 万元，其余部分全部用于年底 建行 款(1) 若公寓收 准定 每生每年800
11、元， 到哪一年可 建行全部 款？(2) 若公寓管理 要在 2025 年年底把 款全部 清， 每生每年的最低收 准是多少元 ( 精确到元 ) ？ ( 参考数据： lg 1.734 3 0.2391， lg 1.05 0.021 2 ， 1.05 8 1.477 4)解： (1) 公寓投入使用后n 年可 全部 款， 公寓每年收 1 000 800800 000( 元 ) 80 万元，扣除18 万元，可 款 62 万元依 意有621 (1 5 ) (1 5 )2 (1 5 ) n 1 500(1 5 ) n 1 ，化 得62(1.05 n 1) 251.05 n 1， 1.05 n 1.734 3.
12、 两 取 数并整理得lg 1.734 30.239 1n lg 1.05 0.021 2 11.28 ， 当取 n 12 ，即到 2029年底可全部 清 款(2) 每生每年的最低收 准 x 元，因到2025 年底公寓共使用了8 年，1 000x279依 意有 10 000 18 1 (1 5 ) (1 5 ) (1 5 ) 500(1 5 ) .1.05 819化 得 (0.1x18) 1.05 1 500 1.05 ，解得 x992， 每生每年的最低收 准 992 元13. 已知数列 a n ， b n 足 2Sn (a n 2)b n，其中 Sn 是数列 a n 的前 n 和(1) 若数列
13、 a n 是首 2，公比 1的等比数列，求数列b n 的通 公式；33(2) 若 bn n， a2 3，求数列 a n 的通 公式；an(3) 在(2) 的条件下， 设 cn bn，求 ：数列 c n 中的任意一 可以表示成 数列其他两 之 (1) 解：因 n2 1 n11 n，a33 2321 1n311n3Sn11 3，1 231 1 nn312S1 n所以 b an 2 2.n 2 3 2(2) 解：若 bn n， 2Sn nan 2n，3名校名 推荐所以 2Sn 1 (n 1)a n 1 2(n 1) ，两式相减得2an 1 (n 1)a n 1nan 2，即 nan (n 1)a n
14、 1 2.当 n2时， (n 1)a n 1 (n 2)a n 2，两式相减得 (n 1)a n1 (n 1)a n 1 2(n 1)a n，即 an1 an1 2an.由 2S1 a1 2，得 a1 2，又 a23，所以数列 a n 是首项为2，公差为32 1的等差数列，故数列 a n 的通项公式是an n 1.(3) 证明：由 (2)得 cn 1n N ，若存在， t n， ， t N ，使得 cnn ，对于给定的nc ct ，n 1 k 1t 1111只需 n k t，即 1 n 1 k 1 t ，即 1111，则 t n（k 1），n ktktk n取 n1，则 t n(n 2) ，n 1n2n2 2n 1所以对数列 c n 中的任意一项cnn ，都存在cn 1 n1和 cn2 2nn2 2n ，使得cncn 1 cn2 2n.4