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1、名校名 推荐2019 届北师大版（文科数学）分类加法计数原理和分步乘法计数原理单元测试1 有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有 5 名同学只会用综合法证明,有3 名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1 名同学证明这个问题 ,不同的选法种数为 ()A.8B.15C.18D.30答案 A2 将 4 位老师分配到3 个学校去任教 ,共有分配方案 ()A.81 种B.12 种C.7 种D.256 种解析每位老师都有 3 种分配方案 ,分四步完成 ,故共有 3333= 81 种.答案 A3 已知两条异面直线a,b 上分别有 5 个点和 8 个点 ,则这 13 个点可以确定不同的平面个数为
2、 ()A.40B.16C.13D.10解析分两类 :第 1 类,直线 a 与直线 b 上 8 个点可以确定 8 个不同的平面 ;第 2 类,直线 b 与直线 a 上 5 个点可以确定 5 个不同的平面 .故可以确定 8+ 5= 13 个不同的平面 . 答案 C4 从 6 个人中选 4 个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯四个城市游览 ,要求每个城市有一个人游览 ,每人只游览一个城市 ,且这 6 个人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 ()A.300 种B.240 种C.144 种D.96 种解析四个游览城市中只有巴黎有限制要求 ,甲、乙不去 ,因而可以先安排去巴黎的人 ,再依次安排去其
3、他城市的人 ,整个事件的安排可以分为四步 ,每一步安排一个城市 ,因而按分步乘法计数原理计算 .去巴黎的人为除甲、乙两个人外的其余四人,只能有一人去 ,所以有 4 种选择 .再安排一人去剩下的三个城市中的一个,比如伦敦 ,剩余有五人 ,因而有 5 种选择 .再从剩下的四人中选一人去剩下的两个城市中的一个,所以有 4 种选择 .最后一个城市只能从剩余的三个人中选一人 ,所以有 3 种选择 .所以方案共有 4543=240 种.答案 B1名校名 推荐5 某班小张等 4 位同学报名参加 A,B,C 三个课外活动小组 ,每位同学限报其中一个小组 ,且小张不能报 A 小组 ,则不同的报名方法有 ()A.
4、27 种B.36 种C.54 种D.81 种解析小张先报名 ,有 2 种报名方法 ,其他 3 名再依次报名 ,各有 3 种报名方法 ,所以共有 2333=54 种不同的报名方法 .答案 C6 如图所示 ,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有 ()个.A.40B.30C.20D.10解析由题意知满足条件的三角形分为两类.第一类 :与正八边形有两条公共边的三角形有m1 = 8 个 ;第二类 :与正八边形有一条公共边的三角形有m个.2= 8 4= 32由分类加法计数原理知满足条件的三角形共有m1+m2= 40 个.答案 A7 将 3 封信投入 6 个信箱内 ,不同的投法
5、有种.解析每封信都有 6 种投法 ,所以 3 封信投入 6 个信箱共有 666= 216 种投法 .答案 2168 用数字 2,3 组成四位数 ,且数字 2,3 至少都出现一次 ,这样的四位数共有个 (用数字作答 ).解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2 或 3 的情况不合题意 ,所以符合题意的四位数有24-2= 14 个 .答案 149 如图所示 ,从 ABC,有种不同的走法 ;从 AC,有种不同的走法 .2名校名 推荐解析 AB C 分两步 .第一步 :AB,有 2 种走法 ;第二步 :BC,有 2 种走法 .所以 ABC 共有 22= 4 种走法 .AC 分两类
6、.第一类 :AB C 共有 4 种走法 ;第二类 :AC(不经过 B)有 2 种走法 .所以 AC 共有 4+ 2= 6 种走法 .答案 4610 王华同学有课外参考书若干本,其中有 5 本不同的外语书 ,4 本不同的数学书 ,3 本不同的物理书 ,他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1 本去图书馆 ,则有多少种不同的带法 ?(2)若带外语、数学、物理参考书各1 本 ,则有多少种不同的带法 ?(3)若从这些参考书中选2 本不同学 的参考书带到图书馆 ,则有多少种不同的带法 ?解 (1)完成的事情是带一本书 ,无论带外语书 ,还是数学书、物理书 ,事情都已完成 ,从而确定应用分类
7、加法计数原理 ,结果为 5+ 4+3= 12 种.(2)完成的事情是带 3 本不同学 的参考书 ,只有从外语、数学、物理书中各选 1 本后 ,才能完成这件事 ,因此应用分步乘法计数原理 ,结果为 543=60 种.(3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步乘法计数原理 ,有 54= 20 种选法 ;同样 , 选外语书、物理书各 1 本 ,有 53= 15 种选法 ; 选数学书、物理书各 1 本,有 43= 12 种选法 .即有三类情况 ,应用分类加法计数原理 ,结果为 20+ 15+ 12=47 种.11 某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语 ,3 人会日
8、语 ,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法 ?解由题意 ,知有 1 人既会英语又会日语 ,6 人只会英语 ,2 人只会日语 .方法一 :分两类 .第一类 :从只会英语的 6 人中选 1 人教英语 ,有 6 种选法 ,则教日语的有 2+ 1= 3 种选法 .此时共有 63= 18 种选法 .第二类 :从不只会英语的 1 人中选 1 人教英语 ,有 1 种选法 ,则选会日语的有 2 种选法 , 此时有 12= 2 种选法 .所以由分类加法计数原理知,共有 18+ 2= 20 种选法 .方法二 :设既会英语又会日语的人为甲 ,则甲有入选、不入选两类情形 ,入选后又要分两种
9、:(1)教英语 ;(2)教日语 .第一类 :甲入选 .(1)甲教英语 ,再从只会日语的2 人中选 1 人,由分步乘法计数原理 ,有 12= 2 种选法 ;(2)甲教日语 ,再从只会英语的6 人中选 1 人,由分步乘法计数原理 ,有 16= 6 种选法 .故甲入选的不同选法共有2+ 6= 8 种.3名校名 推荐第二类 :甲不入选 ,可分两步 .第一步 ,从只会英语的 6 人中选 1 人有 6 种选法 ;第二步 ,从只会日语的 2 人中选 1 人有 2 种选法 .由分步乘法计数原理 ,有 62= 12 种不同的选法 . 综上 ,共有 8+12= 20 种不同选法 . 123 个人要坐在一排 8 个
10、空座位上 ,若每个人左右都有空座位 ,不同的坐法有多少种 ?解 3 个人在一排 8 个空座位上坐下后 ,只剩下 5 个空座位 ,我们可以构造这样的解题过程 , 依次将 3 个人连同他的座位逐个地插入 5 个空座位的空当中去 .由于每人左右都要有空位子 ,因此将第一个人连同他的座位插入时 ,不能插在两边 ,所以有 4 种插法 如图中的 (1)到 (2); 然后将第二个人连同他的座位插入时 ,只有 3 种插法了 如图中的 (2)到(3); 最后将第三个人连同他的座位插入时 ,只有 2 种插法了 如图 (3)到 (4) .这时 ,我们再根据分步乘法计数原理 ,可以得到插入的不同的方法共有 432= 24 种.(1) (3)(2) (4) 表示没有坐人的空位 表示已经坐人的位置4