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1、 料推荐各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式 :g(y)dy=f(x)dx直接解得 g(y)dy= f(x)dx设 g(y)及 f(x) 的原函数依次为 G(y)及 F(x),则 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式 :dy/dx= (y/x)令 u=y/x 则 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 所以 u+xdu/dx=(u), 即 du/ (u)-u =dx/x两端积分 , 得du/ (u)-u =dx/x最后用 y/x 代替 u, 便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x) P(x)d
2、xP(x)dx先令 Q(x)=0 则 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce, 再令 y=ue代入原方程P(x)dxP(x)dx P(x)dxdx+C,所以 y=eQ(x)edx+C解得 u= Q(x) eP(x)dx P(x)dxP(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解即 y=Ce+eQ(x)e4.可降阶的高阶微分方程解法(n) y =f(x) 型的微分方程(n)y=f(x)y(n-1) = f(x)dx+C 1y(n-2) = f(x)dx+C 1 dx+C2依次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y(n)=f(x) 的含有 n 个任意常数的通解 y” =f(x,y ) 型的微分
3、方程令 y=p 则 y”=p , 所以 p=f(x,p),再求解得 p= (x,C 1)即 dy/dx= (x,C 1), 所以 y=(x,C 1)dx+C2 y” =f(y,y ) 型的微分方程1 料推荐令 y=p 则 y”=pdp/dy, 所以 pdp/dy=f(y,p),再求解得 p= (y,C 1)即 dy/dx= (y,C 1), 即 dy/ (y,C 1)=dx, 所以 dy/ (y,C 1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式 :y ”+py+qy=0,特征方程 r2+pr+q=0特征方程 r2+pr+q=0 的两根为 r1,r2微分方程 y”+py+qy=0 的
4、通解两个不相等的实根12r1xr2xr,ry=C1e +C2e两个相等的实根 r1=2r1xry=(C1+C2x)e一对共轭复根 r1+i-ixcosx)212=, r=y=e (Cx+C sin6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式 : y ”+py+qy=f(x)先求 y”+py+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y”+py+qy=f(x) 的一个特解 y*(x)则 y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y”+py+qy=f(x) 的通解求 y”+py+qy=f(x) 特解的方法 : f(x)=P m(x)e x 型令 y*=x kQm(x)exk 按 不是特征方程的根 , 是特征方程的单根或特征方程的重根依次取 0,1 或 2再代入原方程 , 确定 Qm(x) 的 m+1个系数 x f(x)=eP(x)cos x+Pn(x)sin x型k x令 y*=x e Qm(x)cos x+Rm(x)sin xm=max ,n ,k 按 +i 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0 或 1再代入原方程 , 分别确定 Qm(x) 和Rm(x) 的 m+1个系数2