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1、1,补充轮换对称性结论:,若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则,2,证,所以,例,习 题 课,二 重 积 分,知识要点,解题技巧,典型例题,4,其中,一、二重积分的概念与性质,是各小闭区域的直径中的最大值.,几何意义,二重积分I表示以D为底,柱体的体积.,z =f (x, y)为曲顶, 侧面是,（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义,定义,1.,平面上有界闭区域D上二元有界函数,z = f (x, y)的二重积分,2.,当连续函数,以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶,一般情形,知识要点,5,物理意义,3.,xOy平面上方的曲顶柱体体积,
2、减xOy平面下方的曲顶柱体体积.,若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量M为:,它的面,密度为连续函数,6,性质1(线性运算性质),为常数, 则,(重积分与定积分有类似的性质),性质2,将区域D分为两个子域,对积分区域的可加性质.,（二）二重积分的性质,7,以1为高的,性质3(几何应用),若 为D的面积,既可看成是以D为底,柱体体积.,又可看成是D的面积.,特殊地,性质4(比较性质),则,(保序性),8,几何意义,以m为高和以M为高的,性质5(估值性质),为D的面积, 则,则曲顶,柱体的体积介于以D为底,两个平顶柱体体积之间.,9,性质6(二重积分中值定理),体体积等于以D为底,几何意义
3、,域D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点,使得,则曲顶柱,为高的平顶柱体体积.,设f (x, y)在闭区,10,(1)设f (x, y)在有界闭区域D上连续.,若D关于,则,x轴对称,f (x, y)对y为奇函数, 即,f (x, y)对y为偶函数, 即,则,其中,（三）对称区域上奇偶函数的积分性质,11,(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续.,若D关于,则,y轴对称,f (x, y)对x为奇函数, 即,f (x, y)对x为偶函数, 即,则,其中,12,(3)设f (x, y)在有界闭区域D上连续.,13,其中函数,在区间a, b上连续.,二、在直角坐标系中化二重积分为,累次积
4、分,(1) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.,先对y 后对x的二次积分,14,其中函数,在区间c, d上连续.,(2) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.,先对x 后对y的二次积分.,15,三、在极坐标系中化二重积分为累次积分,(1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,16,(2)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,17,极坐标系下区域的面积,(3)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,18,再确定交换积分次,1. 交换积分次序:,先依给定的积分次序写出积分域D的,不等式,并画D的草图;,序后的积分限;
5、,2. 如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算;,解题技巧,19,3. 注意利用对称性质,数中的绝对值符号.,以便简化计算;,4. 被积函数中含有绝对值符号时,应,将积分域分割成几个子域,使被积函数在,每个子域中保持同一符号,以消除被积函,20,解,例,计算积分,交换积分次序.,原式 =,典型例题,1.交换积分次序,21,计算,解,积分域是圆,故关于x、y轴、,故将被积函数分项积分:,而,又,所以,原式 =,对称,例,直线,2.利用对称性,22,证,所围立体的体积等于,是连续,的正值函数,所求立体在xOy面上的投影区域为,有:,例,证明:,23,解,原式 =,用极坐
6、标.,对称性,积分区域关于x轴对称,例,3.坐标系的选择,24,若函数 f (x, y)在矩形区域D:,解,上连续, 且,求 f (x, y) .,设,两边积分, 得,例,25,计算二重积分,D2,例,将D分成D1与D2两部分.,D1,其中,解,由于,直角坐标,3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分,26,其中,因此,27,其中,选择适当的坐标计算:,解,原式 =,例,28,其中,选择适当的坐标计算:,解,原式 =,例,29,计算,解,积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.,原式=,记D1为D的y0的部分.,则,D1,练习,30,练习,证明,证,交换积分次序,累次积分,法一,31,32,证明,法二,令,则,