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1、11.3多边形及其内角和11.3.1多边形【教学目标】知识与技能(1)了解多边形及有关概念,理解正多边形的概念.(2)区别凸多边形与凹多边形.过程与方法在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.情感、态度与价值观体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.【教学重难点】重点:多边形及有关概念、正多边形的概念.难点:区别凸多边形与凹多边形.【教学过程】一、情景导入投影1看下面的图片,你能从中找出由一些线段围成的图形吗?多边形及有关概念这些图形有什么特点?由几条线段组成;它们不在同一条直线上;首尾顺次相接.这种在平面内,由一些不在同一条直线上的线
2、段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形、n边形.这就是说,一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形,三角形是最简单的多边形.与三角形类似地,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,如图中的A、B、C、D、E.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的1是五边形ABCDE的一个外角.投影2连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.四边形有几条对角线?五边形有几条对角线?画图看看.你能猜想n边形有多少条对角线吗?说说你的想法.n边形有n(n-3)条对角线.因为从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,n个顶点共引n(
3、n-3)条对角线,又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的,所以,n边形有1/2n(n-3)条对角线.凸多边形和凹多边形投影3如图,下面的两个多边形有什么不同?在图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形.注意:今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.正多边形的概念我们知道,等边三角形、正方形的各个角都相等,各条边都相等,像这样各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.投影4下面是正
4、多边形的一些例子.二、课堂练习课本21页练习第1、2题.3.有五个人在告别的时候相互各握了一次手,他们共握了多少次手?你能找到一个几何模型来说明吗?三、课堂小结1.多边形及有关概念.2.区别凸多边形和凹多边形.3.正多边形的概念.4.n边形对角线有1/2n(n-3)条.四、布置作业课本24页习题11.3第1题.11.3.2多边形的内角和【教学目标】知识与技能1.了解多边形的内角、外角等概念.2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.过程与方法在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.情感、态度与价值观体会数学与现实生
5、活的联系,增强克服困难的勇气和信心.【教学重难点】重点:多边形的内角和与多边形的外角和公式.难点:多边形的内角和定理的推导.【教学过程】一、复习导入我们已经证明了三角形的内角和为180,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数,知道四边形的内角和为360,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗?多边形的内角和投影1如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此,四边形的内角和=ABD的内角和+BDC的内角和=2180=360.类似地,你能知道五边形、六边形n边形的内角和是多少度吗?投影2观察
6、下面的图形,填空:从五边形一个顶点出发可以引对角线,它们将五边形分成三角形,五边形的内角和等于;从六边形一个顶点出发可以引对角线,它们将六边形分成三角形,六边形的内角和等于;投影3从n边形一个顶点出发,可以引对角线,它们将n边形分成三角形,n边形的内角和等于.n边形的内角和等于(n一2)180.从上面的讨论我们知道,求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求.现在以五边形为例,你还有其它的分法吗?分法一如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.五边形的内角和为5180-2180=(5-2)180=540.分法二如图2,在边AB上取一点O,连
7、OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形.五边形的内角和为(5-1)180-180=(5-2)180.如果把五边形换成n边形,用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)180.二、例题投影6例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?如图,已知四边形ABCD中,A+C=180,求B与D的关系.【分析】A、B、C、D有什么关系?解:A+B+C+D=(4-2)180=360,A+C=180,B+D=360-(A+C)=180.这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.投影7例2:如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角
8、和等于多少?如图,已知1,2,3,4,5,6分别为六边形ABCDEF的外角,求1+2+3+4+5+6的值.【分析】多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?六边形的外角和是多少度?解:1+BAF=180,2+ABC=180,3+BCD=180,4+CDE=180,5+DEF=180,6+EFA=180,1+BAF+2+ABC+3+BCD+4+CDE+5+DEF+6+EFA=6180.又1+2+3+4+5+6=4180,BAF+ABC+BCD+CDE+DEF+EFA=6180-4180=360.这就是说,六边形形的外角和为360.如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果:n边形的外角和等于360.对此,我们也可以这样来理解.投影8如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360.三、课堂练习课本24页习题11.3第2、3题.四、课堂小结n边形的内角和是多少度?n边形的外角和是多少度?五、布置作业课本24页第2、3题.