江苏省扬州中学2013届高三数学下学期开学检测.docx

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1、扬州中学 20122013 学年度第二学期开学质量检测高 三 数 学一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 已知集合 Ma,0 , Nx 2x25x0, xZ ,如果 MN,则 a等于.2在复平面内，复数5i的对应点位于第象限 .2 i若 a b | a |, 则实数 x 的值为.3. 向量 a (3,4), b( x,2) ,4右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图那么甲、乙两人得分的平均分x甲x乙 （填 ,= ）5. 设 a 0 且 a1，则“函数 f ( x)ax在 R 上是减函数 ”，开始输入 p是“函数 g

2、( x)(2a) x3在 R 上是增函数”的条件n1，S0Sp否6. 某程序的框图如图所示 ,p 为 24 ，是执行该程序，若输入的S = S + 3n输出 n ， S则输出的 S的值为.结束nn17.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9 的概率是8. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为。9 数 列 an 满 足 a12, 且 对 任 意 的 m,nN* ， 都 有 an ma n a m， 则 an 的 前 n 项 和Sn_.10.已知函数 f ( x)sin(2 x，其中 x 1), a 若 f

3、 (x) 的值域是 ,1 ，则 a 的取662值范围是 _11.一个等差数列 an 中， an是一个与 n无关的常数，则此常数的集合为a2 nx0,12.点 P( x, y) 在不等式组xy3, 表示的平面区域内，若点P( x, y) 到直线 ykx 1的最yx1大距离为 2 2 ，则 k_.13.椭圆 C : x2y21(ab0)的左右焦点分别为 F1, F2 ，若椭圆 C 上恰好有 6个不同的点a2b2- 1 -P ，使得F1 F2 P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是_ 14.设 tR，若 x 0 时均有 ( tx1)x2( t1)x10 ，则 t _二、解答题：（本大题共

4、6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已 知ABC 的 三 个 内 角A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 是 a ,b ， c ，tan Atan B33 tan A tan B , a2, c19 .（）求 tan( AB) 的值；（）求ABC 的面积 .16. 在 直 三 棱 柱B C C C1A BAB BCM , NA B C 1A 1B C1,. 点分 别 是中 ，=2CC1 , B1 C 的中点， G 是棱 AB 上的动点 .（ I ）求证： B1C平面 BNG ；(II) 若 CG / 平面 AB1M ，试确定 G 点的位置，并给出证明

5、；17.如图所示，有一块边长为1km 的正方形区域ABCD ，在点 A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ 始终为弧度（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上运动），设4Qtant 。D（ 1）试用 t 表示出 PQ 的长度，并探求CPQ 的周长 l ；（ 2）求探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积 S 的最大值。18. 已 知 数 列的 前 n 项 和 为n ， 且 满 足 ： a1a，4nan 1rS naS(a 0 )APAB，CP( nN* ，Br R, r1) .（）求数列an 的通项公式；（）若存在 k*，使得 Sk 1 ，Sk ，Sk 2成等差数列， 试判断：对于任意

6、的 m*，且 m2 ，NNam 1 ， am ， am 2 是否成等差数列，并证明你的结论.- 2 -19. 已知椭圆 C : x2y263 622 1 a b0 的离心率 e，一条准线方程为 xab32求椭圆 C 的方程；设 G , H 为椭圆 C 上的两个动点，O 为坐标原点，且OG OH 当直线 OG 的倾斜角为 60 时，求GOH 的面积；是否存在以原点 O 为圆心的定圆， 使得该定圆始终与直线 GH 相切？若存在， 请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由20. 已知函数 f ( x) 的定义域为 (0,) ，若 yf ( x) 上为增函数，则称 f ( x) 为“一在 (0,x阶比增

7、函数” ；若 yf ( x)在 (0,) 上为增函数，则称f ( x) 为“二阶比增函数” .x 2我们把所有 “一阶比增函数” 组成的集合记为1 ，所有“二阶比增函数” 组成的集合记为2 .( ) 已知函数 f ( x)x32hx2hx ，若 f ( x)1 , 且 f (x)2 ，求实数 h 的取值范围；( ) 已知 0 a bc ， f ( x)1 且 f ( x) 的部分函数值由下表给出，xabca bcf (x)ddt4求证： d (2dt 4)0 ；( ) 定义集合f ( x) | f ( x)2 , 且存在常数 k,使得任取 x(0,), f ( x) k,请问：是否存在常数M

8、，使得f ( x)，x (0,) ，有 f( x)M 成立？若存在，求出 M 的最小值；若不存在，说明理由.- 3 -题答号学_要_不名姓_内_ _号 线考班）封高三数学开学 量 附加 1. 已知 M10， N10，求曲 2x22 xy 10 在矩 MN 的 作用下0211得到的曲 方程2.在极坐 系中， 圆 C：10cos和直 l :3cos4sin300 相交于 A、B 两点，求 段 AB 的 .- 4 -3. 今年雷锋日，某中学预备从高中三个年级选派4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级高二年级高三年级（ I ）若从20名学生中选出 3 人参加文明交通宣传

9、，求他10 人6 人4 人们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（ II ）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的） ，记安排到高一年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望 .4对于数集 X 1, x1, x2 , xn ，其中 0x1 x2xn ， n2 ，定义向量集Y a | a(s,t ), sX , tX .若对于任意 1Y，存在 a2Y ，使得a1 a20 ，则称 Xa具有性质 P.例如 X 1, 1, 2 具有性质 P.（ I ）若 x2 ，且 1,1,2, x 具有性质 P ，求 x 的值；（ II ）若X具有性质P

10、，且x1=1，2= （q为常数），求有穷数列xn 的通项公式 .xq- 5 -号学_名姓_号试考班）（三高高三开学 量 数学 卷答 2013.2.2012345678910题1112131415（ 14分）答要 16（ 14 分）不内线 17（ 15 分）封密18（ 15 分）- 6 -19（ 16 分）（请将20 题解答写在答题纸反面）高三开学质量检测数学试卷答卷2012.12.2211或22 二 3 x14 5充分不必要6 S307 16839 2n 12 10 , 11 1,1 12 113 ( 1, 1 )( 1 ,1)14 13622322215（ 14 分）解：（ I）解tan A

11、tan B33 tan A tan B3(1tan A tan B)- 7 -tan(AB)tan Atan B3 5 分1tan A tan B（ II ）由（ I ）知AB60，C120 7 分c2a 2b 22ab cosC 194 b22 2 b12 b3 10 分 S ABC1 ab sin C123333 14 分222216（ 14 分）(I) 明：在直三棱柱ABC A1B1C1 中， BCCC1 ，点 N 是 B1C 的中点， BNB1C1 分ABBC ,ABBB1 , BB1BCB AB 平面 B1 BCC1 3 分B1C平面 B1BCC 1 B1CAB ，即 B1CGB 5

12、 分又 BN BG B B1C平面 BNG7 分（ II ）当 G 是棱 AB 的中点 ， CG / 平面 AB1 M . 8 分 明如下 :连结 AB1 , 取 AB1 的中点 H， 接 HG , HM , GC , 则 HG 为AB1 B 的中位 1BB1 10 分 GH BB1 ， GH2 由 已 知 条 件 ， B1BCC 1 为 正 方 形 CC1 BB1 ，CC1BB1 M 为 CC1 的中点， CM1 CC1 12 分 MC GH ，且 MCGH2四 形 HGCM 平行四 形GC HM又 GC平面 AB1M , HM平面 AB1 M 13 分- 8 - CG /平面 AB1 M

13、1417（ 15 分）（ 1） BPt ， CP 1t ，0t1，DAQ， DQtan ()1t ，441tCQ 11t2t。（2 分）1t1t PQCP 2CQ2(1t) 2( 2t)21t 2，lCPCQPQ 1 t2t1t 21 定 。（ 7 分）1 t1t1 t1t（ 2） S S正方形 ABCDS ABPS ADQ21(1t21) 。（ 10 分）21) (0 tt又函数 y1t2在 0 ,21 上是减函数，在 2 1,1上是增函数，（ 121 t分） 2 21t23 ， 121 (1t2) 22 。（14 分）1t221t所以探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面 S 的最大 2

14、2 ( km2 ) 。（ 15 分）18 （ 15 分 ） 解 析 ：（ ） 由 已 知 an 1rSn 可 得 an 2rSn 1 ， 两 式 相 减 可 得an 2an 1 r Sn 1 Snran 1 ，即 an 2r 1 an 1 ，又 a2ra1ra ，所以当 r=0 ，数列an为 a,0,0 ,0 ，；当 r0, r1 ，由已知 a0 ，所以 an 0, n N 2, 于是由 an2an 1ra n 1 ，可得 an2r 1，所以 a2 , a3 , , an ,成等an1比数列，当 n2 ， anrrn 2a 。1 上，数列 an的通 公式 ：ana,n 1rr1n 22a,n（

15、） 于任意的m N * ，且 m2 ， am1, am , am 2 是否成等差数列， 明如下：当 r=0 ，由（） ，知 ana, n1，0, n2故 于任意的 m N * ，且 m2 ， am1, am , am 2 7 成等差数列；当 r 0, r1 ，Sk 2Skak 1ak 2 ， Sk 1Skak 1 。若存在 kN *，使得Sk 1 , Sk , Sk 2 成等差数列， Sk 1Sk2 2Sk ，2Sk 2ak 1ak 22Sk ，即 ak 22ak 1 ，由（），知 a2 , a3 , an ,的公比 r12 ，- 9 -于是 于任意的m N * ，且 m2 ， am12am

16、，从而 am 24am ，am 1am 22am ，即 am 1 , am , am 2 成等差数列。 上， 于任意的mN * ，且 m2 ， am1, am , am 2 成等差数列。19（ 1 ）因 c6 ， a236 ， a 2b2c 2 ， 2 分a3c2解得 a 3,b3 ，所以 方程 x2y21 4 分93y3xx29（ 2）由x2y2，解得10，6 分127y29310y3 xx29由3得2，8 分x 2y 21y23932所以 OG3 10 ,OH6 ，所以 S GOH3 15 10 分55假 存在 足条件的定 ， 的半径 R ， OG OHR GH因 2OH2GH2111，故

17、 OG 2OH 2R2OG，当 OG 与 OH 的斜率均存在 ，不妨 直 OG 方程 ： y kx ，ykx29xG3k 299k由x2y2，得1，所以 OG29k 213k1293yG3k 2122 ， 12 分同理可得 OH 29k 29（将 OG 2中的 k 成1 可得）14 分3k 2k11413OG 2OH 29R2 ， R2 ，1141当 OG 与 OH 的斜率有一个不存在 ，可得，OG2OH 29R 2故 足条件的定 方程 ：x 2y 29 16 分420（ 16 分）- 10 -解：（ I ）因 f (x)1, 且 f (x)2 ，即 g( x)f ( x)x22hxh 在 (

18、0,) 是增函数，所以 h0 2 分x而 h( x)f ( x)xh2h在 (0,) 不是增函数，而h (x)hx2x12x当 h( x) 是增函数 ，有h 0 ， 所以当 h(x) 不是增函数 ，h0 上，得 h0 4 分( ) 因 f ( x)1 ，且 0 a b c a b c所以 f ( a)f ( abc) =a4，所以 f ( a)da4a，aabcbcbc同理可 f ( b) d4b， f (c) t4cab cbca三式相加得f ( a)f (b)f (c)2d4(abc)4,tbca所以 2dt4 0 6 分因 dd , 所以 d ( b a ) 0,abab而 0ab ，

19、所以 d0所以d (2dt4)0 8 分( )因 集合f ( x) | f ( x)2 ,且存在常数 k, 使得任取 x(0,), f ( x) k ,所以 f (x)，存在常数 k ，使得f ( x) k对 x(0,) 成立我 先 明 f ( x)0 对 x(0,) 成立假 x0(0,), 使得 f (x0 )0 ，f (x0 )f ( x)f ( x)记m0 因 是二 比增函数，即x2是增函数 .2x0所以当 xx0 ，f ( x)f ( x0 )m ，所以 f ( x)mx2x22x0所以一定可以找到一个x1 x0 ，使得 f ( x1 ) mx12k 与 f ( x)k对 x(0,)

20、成立矛盾 11 分f (x) 0 对 x(0,) 成立所以 f ( x)， f ( x)0 对 x (0,) 成立下面我 明f ( x)0在 (0, )上无解假 存在 x20，使得 f ( x2 )0 ，- 11 - 因 f ( x) 是二 增函数，即f (2x)是增函数x一定存在 x3x20 ，f ( x3 )f (x2 )0 ， 与上面 明的 果矛盾22x3x2所以 f ( x)0在 (0,) 上无解 上，我 得到f ( x)， f ( x)0 对 x(0,) 成立所以存在常数M0，使得f ( x)，x(0,) ，有 f ( x)M 成立又令 f ( x)1 (x0) ， f ( x) 0 对 x(0,) 成立，x又有 f ( x)1) 上是增函数，所以 f ( x)x2x3 在 (0,，而任取常数 k0 ， 可以找到一个x0 0 ，使得 xx0 ，有 f ( x)k所以 M 的最小 为 0 16 分1. 【解析】本 考 矩 的乘法，101010，4 分MN=211=202设 P（ x , y ）是曲 2x22xy10上任意一点，点P 在矩 MN 的 下 点P（ x, y）， 有x10x xy22y 2x2 y于是 xx ， yy8 分x.2代入 2 x 22x y 10 得 xy1，所以曲 2x22xy10 在MN 的 作用下