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1、06:37:59,2.4.1抛物线及其 标准方程,抛物线的生活实例,投篮运动,06:37:59,06:37:59,萨尔南拱门,06:37:59,抛物线及其标准方程,实验模型：,如图，点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是L 上任意一点，过点H 作 ，线段FH的垂直平分线交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？,实验,平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,一、抛物线定义,其中 定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线,定义告诉我们：,1、判断抛物线的一种方法,2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|,1、
2、到定点（3，0）与到直线 的距离相等的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 2、到定点（3，0）与到直线 的距离相等的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线,C,D,练习,二、抛物线的标准方程,1.建:建立直角坐标系.,3. 限（现）:根据限制条件列出等式;,4. 代:代入坐标与数据;,5. 化:化简方程.,2.设:设所求的动点(x,y);,回顾求曲线方程一般步骤：,F,M,l,H,建系,O,N,F,K,（一）标准方程的推导:,F,设KF= p （ p 0）,由|MF|=|MH|可知，,如图，以过F点垂直于直线 的直线为 轴，F和垂足的中点为坐标原
3、点建立直角坐标系,把方程 y2 = 2px（p0） 叫做抛物线的标准方程,而p 的几何意义是:,焦点到准线的距离,（二）四种抛物线的标准方程,图,（三）区别与联系,1、四种形式标准方程及图像的共同特征,（1）、二次项系数都化成了_,（2）、四种形式的方程一次项的系数都含2p,1,（3）、四种抛物线都过_点 ；焦点与准线分别位于此点的两侧，且离此点的距离均为_,O,1、一次项(x或y)定焦点,2、一次项系数符号定开口方向. 正号朝坐标轴的正向，负号朝坐标轴的负向。,二、四种形式标准方程及图像的区别,例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；,解: 2P=6,P=3
4、所以抛物线的焦点坐标是（ ，0） 准线方程是x=,三、应用,练习,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,（1）y 2 = -20 x,（2） y = 6 x 2,焦点F ( -5 , 0 ),准线：x =5,例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2） 求它的标准方程。,解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py,由题意得 ，即p=4,所求的标准方程为x2= -8y,解题感悟:,求抛物线标准方程的步骤：,（1）确定抛物线的形式.,（2）求p值,（3）写抛物线方程,求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解:（1）当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入
5、x2 =2py，得p=,（2）当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,巩固提高：,注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论,例3 .一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,小结,1.理解抛物线的定义,2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P的几何意义.,3.注重数形结合、分类讨论思想的应用,练习,根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程,（1）焦点是
6、 F（3，0）,（2）焦点到准线的距离为2,y 2 = 12x,y 2 = 4x ,y 2 = 4x ,x 2 = 4y ,x 2 = 4y,二次函数 (a 0)的图象为什么是一条抛物线？试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程。,解：二次函数 化为：其中,思考:,作业,P73 A组 ：1,2（必做） 补充：求经过点p（4，-2）的抛物线 的标准方程。,解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：,化简得：,解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为,设动点 ，由抛物线定义得,化简得：,y22p (p0),M,