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1、数学归纳法,请问：以上三个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点, 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全 归纳法，问题3是用的完全归纳法。,一、提出问题, 1、错,2、对,3、对,问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例,猜想： 都是质数,法国的数学家费马（Pierre de Fermat） (1601年1665年) 。 十七世纪最卓越的数学家之一， 他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣， 世人冠以“业余王子”之美称，,二、概念,1、归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事
2、例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,2、归纳法分类： 归纳法,想一想：,由两种归纳法得出的结论一定正确吗？,说 明：,（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 不一定正确。,（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。,提出问题,如何寻找一种严格推理的归纳法？,二、挖掘内涵、形成概念：,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归
3、纳法。,【归纳奠基】,【归纳递推】,问题情境三,多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示,3、数学归纳法,思考题： （1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？ （2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问 题？ （3）为什么这些步骤缺一不可？ （4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？,（二）、数学归纳法的步骤,根据(1)(2)知对任意的 时命题成立。,注：,（1）证明当 取第一个值 或 时结论正确,两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。,只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。,（3）数学
4、归纳法用来证明与正整数有关的命题。,（1）,（2）,数学归纳法的应用,题型一 用数学归纳法证明等式问题,题型二 用数学归纳法证明不等式问题,题型三 用数学归纳法证明整除问题,题型四 用数学归纳法证明几何问题,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,证明：1、当n=1时,左=12=1，右= n=1时，等式成立 2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1时，原等式成立 由1、2知当nN*时，原等式都成立,例1.用数学归纳法证明,第二步的证明要用上归纳假设!,题型一 用数学归纳法证明等式问题,第二步的证明要用上归纳假设!,用数学归纳法证明
5、：,证明：,请你来批作业,第二步的证明没有用上归纳假设!,例3、已知正数数列an中,前n项和为sn,且 用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时, =1,结论成立.,(2)假设当n=k时,结论成立,即,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.,第二步的证明要用上归纳假设!,(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效.,证明中的几个注意问题：,(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定.,(3)在证明n=k+1命题
6、成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什 么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项.,1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：,题型二 用数学归纳法证明不等式问题,例
7、5、用数学归纳法证明:,证:(1)当n=2时, 左边= 不等式 成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,题型二 用数学归纳法证明不等式问题,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例6、证明不等式:,证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.,(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.,例7、求证:,证:(1)当n=2时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立.,(2)假设n=k( )
8、时命题成立,即,则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例8、已知x 1，且x0，nN，n2 求证：(1+x)n1+nx.,（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x 因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.,证明： （1）当n=2时，左(
9、1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右 n=1时不等式成立,例9、已知 求证 : .,证:(1)当n=2时, , 不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即,则当n=k+1时, 有:,即当n=k+1时,不等式成立.,由(1),(2)所证不等式对一切 都成立.,题型三 用数学归纳法证明整除问题,例11、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除
10、.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例12、用数学归纳法证明: 能被8 整除.,证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.,(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 是8的倍数.,那么:,因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.,例13、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+
11、1,从而命题成立.,(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除,则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+12+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1),因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1)-整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.,即当n=k+1时,命题成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.,题型四 用数学归纳法证明几何问题,例15、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，
12、问交点的 个数 为多少?并证明.,当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，,由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。,证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。,k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当n=k+1时命题仍成立。,2）假设n=k(kN,k2)时，k条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),题型四 用数学归纳法证明几何问题,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,例18、是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,