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1、第七章 非线性控制系统分析练习题及答案 7-1 设一阶非线性系统的微分方程为试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。 解 令 得系统平衡状态其中： ：稳定的平衡状态； ：不稳定平衡状态。计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。 -2 -1 0 1 2 -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 11 2 0 1 0 2 11图解7-1 系统相轨迹 可见：当时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当时，系统发散；时，; 时，。注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个平面上任意分布。 7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。 (1) (2)
2、 解 （1） 系统方程为 令，得平衡点：。系统特征方程及特征根： 计算列表 - -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 -1 -2/3 0 2 - -4 -2 -4/3 -1 -1 -4/3 -2 -4 2 0 -2/3 -1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（）所示。图解7-2（）系统相平面图（2） 由式： 式代入： 即 令 得平衡点： 由式得特征方程及特征根为 （鞍点）画相轨迹，由式 计算列表 22.5311.52 =1/(-2)210-1-2用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（）所示。7-3 已知系统运动方程为 ，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。 解 求平衡
3、点，令 得平衡点 )。将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。设 特征方程及特征根： k为偶数时 （中心点） k为奇数时 （鞍点） 用等倾斜线法作相平面 -2 -1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 2 -1/ 1/2 1 2 4 -4 -2 -1 -1/2作出系统相平面图如图解7-3所示。 7-4 若非线性系统的微分方程为 (1) (2) 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解（1） 由原方程得 令 得 解出奇点 在奇点处线性化处理。在处： 即 特征方程及特征根 （不稳定的焦点） 在处 即 特征根 （鞍点）概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示： （2）
4、由原方程 令 得奇点 ,在奇点处线性化 得 即 特征根 。奇点（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。 7-5 非线性系统的结构图如图7-36所示。系统开始是静止的，输入信号，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解 由结构图，线性部分传递函数为得 由非线性环节有 由综合点得 将、代入得开关线方程为 令 得奇点 特征方程及特征根 （中心点） III：令 得奇点 特征方程及特征根 （中心点）绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。 7-6 图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应
5、的影响。 解 由系统结构图有 因为 代入式有 特征方程与特征根依题意 可得以为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。 7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。图7-38 具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析： （1）时系统的运动； （2）时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）时系统的运动特点。 解 依结构图，线性部分微分方程为 非线性部分方程为 开关线方程： 由综合口： 、代入并整理得在 I 区： 解出： （抛物线）同理在 II 区可得： （抛物线）开关线方程分别为 时， ; 时，;时，.概略作出相平面图如图解7-7所示。图习题
6、集P178 T8-10由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。7-8 具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。解 非线性特性的数学表达式为图7-39 非线性系统结构图线性部分的微分方程式为考虑到，上式又可以写成输入信号为阶跃函数，在时有，因此有根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。区：系统的微分方程为按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。图解7-8（）为区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。区：系统的微分方程为设一般情况下，初始条件为。则上式的解
7、为对上式求一次导数，得故当初始条件时，相轨迹方程为。当时，相轨迹方程为由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8()所示，相轨迹渐进于直线。区：此时系统的微分方程为将区相轨迹方程中的改变符号，即得区的相轨迹方程该区的相轨迹如图解7-8（）所示。将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8（）所示。假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为。此时的系统的相平面图如图解7-8（）所示。由图可知，系统在阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量可从图中量得。图解7-8 非线性系统的相平面图7-9 试推导非线性特性 的描述函数
8、。解 7-10 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为 (1) (2) (3) 试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？ 解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-10所示。由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。 7-11 将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。 图7-40 非线性系统结构图 解 (a) 将系统结构图等效变换为图解7-11（a）的形式。 (b) 将系统结构图等效变换为图
9、解7-11(b)的形式。 7-12 判断题7-41图中各系统是否稳定；与两曲线交点是否为自振点。题7-41图 自振分析解 （a） 不是（b） 是（c） 是（d） 点是，点不是（e） 是（f） 点不是，点是（g） 点不是，点是（h） 系统不稳定（i） 系统不稳定（j） 系统稳定 7-13 已知非线性系统的结构图如图742所示图7-42 7-13题图图中非线性环节的描述函数为试用描述函数法确定： （1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 解 （1） N(A)单调降，也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线和曲线
10、如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。 求使 的值：令 得 令 可得出K值与系统特性之间的关系： （2）由图解7-13可见，当和相交时，系统一定会自振。由自振条件 解出 7-14 具有滞环继电特性的非线性控制系统如图7-43（）所示，其中。（1） 当时，分析系统的稳定性，若存在自振，确定自振参数；（2） 讨论对自振的影响。图7-43 非线性系统结构图及自振分析解 具有滞环继电特性的描述函数为代入，有其负倒描述函数曲线如题7-43（）所示，曲线位于第三象限，两曲线必然有交点，且该点为自振点。根据虚部相等，有自振角频率随增大而增大，当时，。根据实部相等，
11、有解出非线性输入端振幅为当时，。自振振幅随增大而减小。 7-15 非线性系统如图7-44所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。 解 将系统结构图等效变换为图解7-15。 令与的实部、虚部分别相等得 两式联立求解得 。由图7-44，时，有，所以的振幅为。7-16 用描述函数法分析图7-45所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。若存在自振，求出自振振幅和自振频率（）。图7-45 非线性系统结构图解 因为，所以当时环节输出为，环节输出也为。同样输出也是；当时情况类似。所以实际上和不起作用，系统可等效为如图解7-16（）的形式。画出和曲线如图解7-16（）所示。可见系统一定自振。由自振条件 即 比较实部、虚部有 图解7-16解出 7-17 试用描述函数法说明图7-46所示系统必然存在自振，并确定输出信号的自振振幅和频率，分别画出信号的稳态波形。解图7-46 非线性系统结构图绘出和曲线如图解7-17()所示，可见点是自振点，系统一定会自振。由自振条件可得即 令虚部为零解出=2，代入实部得A=0.796。则输出信号的自振幅值为：。画出点的信号波形如图解7-17()所示。 20教辅工具b