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1、“直线的两点式方程”教学设计宁乡五中梁慧1.教学任务分析学生已经有的相关知识是：直线的倾斜角，斜率，斜率公式，直线的点斜式方程，斜截式方程； 并且经历了建立这些公式，解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法思想解决问题的经验与各种具体方法。这一节课的任务是： 给出两个已知点的坐标，求该直线的方程，建立直线的两点式方程的一般形式。并由特殊的直线与坐标轴的两个交点，了解直线的截距式方程。 从学生已经有的知识与经验看，不难知道， 可以把已知两个点的坐标求直线方程的问题转化为利用点斜式求直线方程的问题，从而完成任务。从课型来说，应该属于“问题教学”。以一个问题为载体，学生在教师的引导与帮助下，分析，研
2、究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法。通过一个数学问题的解决， 让学生参与教学过程。 在这个过程中， 教师尊重学生的思维过程，充分发挥学生在学习中的主动性以及他们之间的合作交流。2.教学重点与难点重点：直线方程两点式的建立，难点：两点式推导过程的方法（未知转化成已知的化归思想）。3.教学基本流程提出问题分析任务，选择方法合作，交流，解决问题反思解决问题的过程优化，深入新的知识，得到拓展简单应用，巩固知识4.教学情境设计(1) 教师帮助学生回忆曾经学习过的斜率公式以及直线的点斜式方程经过两点 P1 (x1，y1)， P2 (x2， y2)，（ x1 x2）的直线的斜率公式？过点 p0
3、x0, y0且斜率为 k 的直线的点斜式方程？再给出新的已知条件，提出新问题：即 已知直线 l 经过两点 P1(1， 2)， P2 (3， 5)，求直线 l 的方程 . ,P1(x1， y1)， P2 (x2， y2)， (x1 x2， y1 y2). 求直线 l 的方程(2) 分析任务，理清思路 ; 解决问题，得出概念学生已经掌握了由两个点的坐标求直线的斜率， 很自然的想到求出斜率后， 再运用直线的点斜式方程，即可解决问题。这里体现了 “化归” 的数学思想方法，把一个新问题转化成一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。另外，这里先由具体的P1 (1 ， 2) ，P2(3， 4)的坐标，过度
4、到抽象的P1 (x1， y1)， P2 (x2，y2)全是字母的坐标，起点低，比起直接让学生做P1 ( x1， y1)， P2(x2， y2)这个问题，更符合学生由浅入深， 由特殊到一般的认知规律，更易让学生自我突破，使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。(可以先让学生讨论，你打算怎么办？) y 2 = 3 (x1) 2 y y1 = y2y1 (x x1 )x2x1教师指出：当y1 y2 时，方程可写成y y1xx1 ( xx , y1y2)y2 y112x2 x1由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式(3) 提出问题，概念深入，即若点 P1
5、 (x1， x2)，P2(x2 ， y2 )中有 x1 = x2 ，或 y1= y2，此时这两点的直线方程是什么？ 已知直线 l经过两点 P1(1， 2)， P2(1， -1) ，求直线 l 的方程 . ,P1(1 ，2) ，P2(3， 2)，求直线 l 的方程这里同样遵循学生由具体到抽象的认知规律，安排了做铺垫。引导学生画出图形，观察和分析，中直线与x 轴垂直，所以直线方程为：x = 1 ； 中直线与 y 轴垂直，直线方程为： y =2. 再回答提出的问题就很容易了。 x = x1和 y = y1总结（让学生试着总结） ：两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.(4)
6、 跟踪练习，强化新知识课堂练习1. 求符合下列条件的直线的方程1）经过 P1(-1 ， 8)及 P2 (4， -2)2）经过 P1(2， 1)及 P2 (0， -3)3）经过 P1(3， 1)及 P2 (3， -2)（学生独立完成，教师检查、反馈）根据学生的记忆规律，刚刚得到的新知识，马上做练习强化，可以达到事半功倍的效果。例 2 如图，已知直线l 与 x 轴的交点为 A(a,0)，与 y 轴的交点为 B (0,b)，其中 a 0，b 0.求直线 l 的方程 .教师引导学生分析题目中所给的两个点有什么特点？指出： a, b 的几何意义和截距方程的概念：xya1b理解截距式源于两点式，是两点式的
7、特殊情形。提问：截距式的适用范围（学生总结）(5) 应用举例，规范表达课堂练习2. 求符合下列条件的直线的方程1） 在 x 轴上截距是2，在 y 轴上截距是32） 在 x 轴上截距是 -5，在 y 轴上截距是63） 过 A(4,0) 及 B (0,-3)4） 经过 P1 (0 ，5)，且在两坐标轴上的截距之和为25） 经过 P1 (5 ，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2这里的第 5 小题学生容易漏掉一种情况。（学生独立完成，教师检查、反馈）例 3 已知三角形的三个顶点 A(5,0 ), B(3, 3),C (0,2) ，求 AC 边， BC 边所在直线的方程，以及 BC 边上中线所在直线的方
8、程 .22如图，过 B(3， 3)， C(0 ，2)的两点式方程为y2x03230整理得5x + 3y 6 = 0.这就是 BC 所在直线的方程 .BC 边上的中线是顶点A 与 BC 边中点 M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为( 3 0 , 3 2 )，即 ( 3 , 1 ).2222过 A(5， 0)， M( 3 ,1 )的直线的方程为y 0x 5 ，整理得 1 x13 y50 ，12232220522即 x + 13 y + 5 = 0.这就是 BC 边上中线所在直线方程 .教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择适当方法求出边BC 所在的直线方程和该边上中线所在直线方程
9、.在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较.(4) 反思，小结，作业教师提出：到目前为止， 我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？方程名称已知条件直线方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解布置课后作业：教材P 3,8,9 100巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力.5.几点说明整个教学过程，教师应该注意少讲，给学生以充分活动的时间与空间。任务的分析，方法的确定，过程的评价，知识的总结等等，都应该注意，学生能够做的事就让他们自己去做，始终注意使得学生知识与能力的发展都得到保证6.教学参考1 求
10、经过点 A (3， 4) ，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程 .【解析】当直线 l 在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为xy1 .aa将 A(3， 4)代入上式，有34解得 a = 7.a1 ，a所求直线方程为 x y + 7 = 0. 当直线 l 在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y = kx.4将 A( 3， 4)代入方程得4 = 3k，即 k =.3所求直线的方程为 y4x，即 4x + 3y = 0.3故所求直线 l 的方程为 x y + 7 = 0 或 4x + 3y = 0.【评析】此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件：a、b 存在且都不为零，否则容
11、易漏解.2 如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y（元）与行李重量x (kg) 的关系用直线AB 的方程表示，试求：（ 1）直线 AB 的方程；（ 2）旅客最多可免费携带多少行李？【解析】（ 1）由图知， A (60， 6)，B (80， 10)代入两点式可得AB 方程为 x 5y 30 =0（ 2）由题意令 y = 0，得 x = 30 即旅客最多可免费携带 30kg 行李 .3直线积等于mx+ny-1=0 的斜率是直线6，试求 m 和 n 的值2x-y+1=0的斜率的2 倍，与两坐标轴围成的三角形的面【解析】2,32014-5-17