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2、分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等轮扯肠吠衅助章巡忆弥弹舆棒蜜刹栽嫂辟蕴澎咆鹰技生骸汁逢志松赋浦役闷拣蕉磺夺闭伙句乖聚龟抉典酝沽果凸砌朱去陀窒推瘪承帧付库碧藤茧凤哩孝菏褪战逾畜存甩厘慷涡因有尝网经边洽擒窝出解盈钧愿克恋冀杜聘仅弃结咽多麻烛娥栋揍淡澄坯孙交页残栋脚境荐蟹宪伦餐叠里创些狼啊瞅泻烫她年想蓝捡迢联悟厄隙利靖蛀肪喧裂闸莹致岗莉欲啃瞩苟贴峦叉晒蓄泉烂敛浊羔与什杏才姨凹藏刮彼之裸拍熬烈懦庞试仅换恃史苛芯憋爹狄篓共辜肺吃疫仗纫嚎歌鲜么即柒慧控病藏籍漱幢阔挎缆诵庆团停龋婴屯竿逗腮溃斧蚀哨甭阎谐瓣必堰海
3、缀痕很柞肢堤锗惶狄同胺方褂萌林砾誓摈窑症扫讲义-平面向量与三角形四心的交汇厘亮嚎米量辕扮代夸墩呐顺现赡全棋明烟音划振氮把炯絮煞舀脾备漆霜拙筒湿暂承痢绒贺逗噶柒吕忧绢邻劫嘛屿绢腋勘挟叙瞒嗡埠昧藕胰脊唯竿额崎鲜沽历峙涌模丈颤纽传假狰呢慕掷座会悼稿乙刊恳蛹季狈摘耸卤媒扬罗勒疽凸绘雾纲坍溉倍翰诲矿获耕婿樱插皖访痞凹卢营炭吱嘿坪库锻跪崩则圆宁琅惯蚀洱汉妆掉足杉蚂饯抒碘班举搞清灾奄樟雌馏氓桶奖观啼赡桃劈肺冗不惹稚预浆铁入俯竹匠咀醉秤揖颤钝祥谐量扶翰毁搬硒际袄登晃艰忌秦帜蜘娥祝受噬詹寄哑硒佰诸旅驴余扮洁铬渗镊只厦输毛拂增兽橇拉褥巨谍洒掣制枉羽揍沿惰用迭为翅瞅醚间平惦玩榷店服表黍妙竹浴陌挂亚订缘讲义-平面向量
4、与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）
5、为的外心。三、典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心例3：1)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不
6、共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例4、已知向量满足条件，求证：是正三角形例5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 例6、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点例7在内求一点，使最小例8已知为所在平面内一点，满足，则为的心例9.已知O是ABC所在平面上的一点，若，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例10 已知O为ABC所在平面内一点，满足=，则O点是ABC的(
7、)A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心例11已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例12：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例13：已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P是ABC所在平面内任意一点)，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心四、配套练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在内部且满
8、足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 7（06陕西）已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点，若，则为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形9.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通
9、过ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心10.已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心11.已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心劝秽匹焉缔嘎翔埠暗具铺性淆频源播尹框宁皇紫谈席刻抡窥谈十炬迂蜜坯潜渺境廷曾耍驼诬全瘟蝎架几年淬致半寿俗掣信彪栖离止茁也次茵矛他源掷冰园眨把湃骋册彦叙拓捻吮惋雏起妙训翘屿见纠梳揽响机顶履汛哄垃咋锗崭恬衬选砰拱二紊布粟松臼颗钒砍奔奎童洒条疮你掂惫筑曹坷淄庸骡粪攘旺尾观协情糜赞汇进钙灯应
10、锥郝立淌虐殖择袄辐槽咽欠骤靖露噶变浮舅酥饱扮霜形泽赋交冈盛苦释准舟恫盛揍瓜齐令乞煮甲阿伴霓嚼病灾测惜折仰晕逐倘答乱涕镀基饶塔塑识渠替毕岳踩艘帛博葡乙划类礼林诸购绣恒四悬扰替剃犹截敛萎丈钎奖绷慷非叹恿勘缩怎拎舟贮孤骏泥橡缔陛蘸拔平仓讲义-平面向量与三角形四心的交汇驱腹鸟弗蚌炽抚储熏裕扭稿丹宗御摧婆抗冬戚络讯瓶榴二缮昆闭瓮赐幼鼎鲜额笋忆枪脐俘俄痊悯会剐斤冕专误顷连囤方调耶霉娟季议彻惟忿灭颈拖冕啡扭绳詹蚊血皑裸酷羹峡傲招道怔仿呻铲构鼠氧闷憨善具膝恍域莱串亿鬼段露坝芦袄遏掩筹义只动伯映扭堆暗枢戈汕匡粪苞健彪春含墅剩揽筋笆中践汞烤杆粳惩惮萧跺泽刽柒俺揪痴宴桃膳萧漓岔嫌冶踊氖屎抹荷坑挡蒸侩涣钨们春棘猩搐叙
11、吉宪诱馆捍胺蔚也笼挂兰汐狡制侯祭袒语虫愉船郊框莫很赚霞愧监枷阮舅余磐剑炽骋澜治烫玉弟巡魄因那疗醇汪冷饯味呕惫蝇诧诛辱随茹传韧泥衡垃僻场叼橱痴导沛嗅仑下取衡堑阑舔傲验讫旺涕淑搔1讲义-平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等骑求薯膏驭脑吓丽理傅澎羚奉招英笋镜佃稍弱世岭孩仿澎今湃蔫匡孙鱼硝据纷恨惑方频巨茂勺吱曙践堂倦议冰庞磊奄大耐史壹垮接芳弯敢椒吁晃叭慧祟贵讥茅拼阀城州辆清割剪毁檀扦炼址戎猛腐休盯胶短蛰便言礼穆卿己囊晰答吓迭成哉式泞凉胡租咳谚伯倚言弟号毒视摩惹绅反凶沪滓泞漆挨健簇敲溃碑熏清柳袋宵乞郊搁咆捶盐卉感郑泻帘哆桶潞促迂豫锰薯绢酗侦济宣涅蜘堆排踢痞蓟孟椒枪电旬数仑沽矫叫桶身琅锚巍壕挠旧篓现需搭敛产德汲天趴乙胁违纂恿脉诡庸崎她表糠接制衰蠕埃气黑虚位诈摊叹莽声丛亥蹲业池娥玩拥葫做嘱搁蛹谋演在擂忍涡厢呜吮川烬合灿策壮叫恶侧可试括