《线性代数3_2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数3_2.ppt（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二节 向量组的线性相关性,一、向量组线性相关性的概念,定义,则称向量,是向量组,的线性组合，,或者称向量,可由向量组,线性表示,2. 若向量 可由向量组 线性表示,注：1. 零向量可由任意一组向量线性表示,则 可由向量组 线性表示.,由,可得,(上述结论反过来不一定成立,除非向量 可由向量组 线性表示.),注：任一n维向量,都可以表示为,的线性组合。,基本向量组,例如,即,注1,定义2,则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关,线性无关,若,则,3. 一个向量线性相关,2. 包含零向量的向量组必线性相关，线性无关 的向量组一定不含有零向量(为什么？）,所组成的向量组 线性无关,个 维向量,
2、例1,证明,可逆,设,即,(此题的结论应用很广泛,必须重视.),向量组 线性无关,可逆,齐次线性方程组(*)只有零解,当且仅当 时成立,线性无关,由此可知,2.向量组,也是线性无关的,1.基本向量组,证明,例2,二、向量组线性相关性的判别,定理1 向量组 （当 时） 线性相关的充分必要条件是 中至少 有一个向量可由其余 个向量线性表示,注意 向量组线性相关 任意一个向量可由其余向量线性表示,故,因 这 个数不全为零，,故 线性相关.,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,因 中至少有一个不为0，,不妨设则有,即 能由其余向量线性表示.,必要性,设 线性相关，,则
3、有不全为零的数使,例3 向量组 线性无关，,可由向量组,且向量组,线性相关，则向量,线性表示且表示法唯一。,证明,因为向量组 线性相关，必有不全为零的数 ，使,若,则 不全为零, 使,这与向量组 线性无关相矛盾，故,（此题的结论经常被用到，务必记住）,可由向量组,即向量,线性表示,两式相减，得,由于向量组 线性无关，故,即,所以线性表示方法唯一,若,从而解得,定理在向量组,中，如果有,一部分向量线性相关，则向量组,必线性相关。（部分相关则全体相关）,如：,推论1 若向量组线性无关，则它的任意一个部分向量组都线性无关 （全体无关则部分无关）,推论2 含有零向量的任何向量组都线性相关,线性相关,线
4、性无关,例4,若向量组线性相关，且向量组,线性无关，(1)向量是否可由向量组 线性表示？(2)向量 是否可由向量组 线性表示？,证明,(2)如果向量 可由向量组 线性表示,由于向量 可由向量组 线性表示,故向量 可由向量组 线性表示, 这与向量组 线性无关相矛盾, 所以向量 不能由向量组,(1)由于向量组线性无关，则向量组线性无关，又向量组线性相关，所以向量可由向量组线性表示.,线性表示.,定理3,若向量组 线性无关,则,例如 若,线性无关，,则,线性无关,注意增加分量与增加向量是不同的,增加分量所得的向量组 也,线性无关.,推论,若向量组 线性相关,则,例如 若,线性相关，,则,线性相关.,
5、注意去掉分量与去掉向量是不同的,去掉分量所得的向量组 也,线性相关.,定理4,当 时,任意 个 维向量,的线性无关向量组,这是因为 个 维向量 线性,当个数大于维数时,向量组一定线性相关,一定线性相关.,线性表示.,相关,又向量组 线性无关. 所以向量,例如 任意一个 维向量 都可由 个 维,可由向量组 线性表示.,定义3,向量组之间具有：,反身性、对称性、传递性,例如：向量组 A与 B 等价(为什么?),定理5,推论1,推论2,定义4,线性无关组，简称为最大无关组。,三、最大线性无关组,设 A 是 n 维向量组，,如果,线性无关；,都可由,线性表示,那么称,是向量组 A 的一个最大,（即 线性相关）,（1）线性无关的向量组的最大无关组为其本身；,（2）仅有零向量组成的向量组没有最大无关组；,（3）任意n个线性无关的n维向量都是n维向量组 的最大无关组；,（4）显然n维向量组,就是,最大无关组；,中的,注：,（5）最大线性无关组不唯一；,如：,都线性无关，,都是二维向量组的最大无关组。,（7）向量组的任意两个最大无关组所含向量个数 是相等的.,（6）向量组与其最大线性无关组等价；,向量组的任意两个最大线性无关组等价.,