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1、 构造函数证明不等式一、引例1证明：证明：设即思考1：证明：思考1证明：由1知设2 当时，证明：。2证明：令， 由知当时，单调递增 于是令， 由知当时，单调递增 于是思考2：已知函数，各项不为零的数列满足，（1）求证：；（2）设，为数列的前项和，求证：。思考2（1）由已知可得， 当时， 两式相减得或当时，若，则这与矛盾 于是，待证不等式即为。为此，我们考虑证明不等式令则，转化为题2即 （2）由（1）可知 则 在中令，并将各式相加得 即 二 例解（1）基于函数关系证明3、函数，若在单调增加，在单调减少，证明：6. 证明： 由条件得：从而由条件得所以将右边展开，与左边比较系数得， 故 又由此可得
2、21世纪教育网 于是 （2）基于比较法构建函数4 设，对任意实数，记求证：当时， 对任意正实数成立；4 证明：方法一：令，则，由，得，当时，所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得 当时，当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（3）基于最值法构建函数5 已知函数 (x0)，f(x)的导函数是，对任意两个不相等的正数、，求证：当时，.5 证明：证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数，有恒成立英才苑即证成立设，则令得，列表如下：极小值 对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得是两个不相等的正数设，则，列表：极小值 即 YCY即对任意两个不
3、相等的正数，恒有（4）基于结构的对称性构建函数6 设函数(其中)的图象在处的切线与直线平行. (1)求的值；(2)求函数在区间0,1的最小值；(3)若, ,且,试根据上述(1)、(2)的结论证明:.6 解：(1)因为, 所以解得m=1或m=7(舍),即m=1(2)由,解得 列表如下:x0(0,)(,1)1f(x)22所以函数在区间0,1的最小值为(3)因为由(2)知,当x0,1时, ,所以,所以当,且时, ,所以 又因为, 所以故(当且仅当时取等号)（5）基于题设条件构建函数7 设是方程的实数根，函数的导数满足.求证：对于定义域中任意的，当，且时，.7解：不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为
4、，所以函数为减函数， 所以， 所以，即，所以.（6）基于不等式，派生出新的不等式8 已知函数（其中为自然对数的底）（）求函数的最小值；（）若，证明：8 解：（）因为，所以显然，当时，；当时，因此，在上单调递减，在上单调递增因此，当时，取得最小值；（）证明：由（）知：当时，有，即，故（），从而有练习1、已知函数，（1）求函数的最小值；（2）若，求证：解：（1）=，2分当时，所以当时，则函数在上单调递增，所以函数的最小值；5分（2）由（1）知，当时， 7分， 10分由得 12分2、已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的
5、定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a5,故，即g(x)在(0，)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有3 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（） （） （）若则当n2时,.证明: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = . 由 两式可知: .9