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1、高考冲刺 集合与逻辑【高考展望】集合与常用逻辑用语是高考的必考内容，多为选择题或填空题，难度不大.集合命题以集合的基本运算，尤其是交集与补集的运算为主；常用逻辑用语多与函数、三角、数列、不等式等知识综合进行命题，难度不大，命题比较分散，命题的四种形式、充要条件的判断、含有逻辑联结词的命题的判断以及含量词的命题等考点均有涉及.【知识升华】一、集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、=、，等等； 2强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正
2、意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 区别与、与、a与a、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A。若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是1, 所有非空真子集的个数是区
3、分集合中元素的形式：如；。空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。 符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。二、常用逻辑用语1命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。常用小写的拉丁字母p，q，r，s，表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。2复合命
4、题的真值“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： p非p真假假真“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假注：1像上面表示命题真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。3四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是
5、第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。4充要条件一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq.“”叫做等价符号。pq表示pq且qp。这时p既是q的充分条件，又是q的必要条
6、件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。5全称命题与特称命题这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。【典型例题】类型一、集合概念例1.若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，则PQ等于（ ）AP BQ C D不知道【思路点拨】类似上题知P集合是y=x2（xR）的值域集合，同样Q集合是y= x21（xR）的值域集合，这样PQ意义就明确了【答案】B【解析】事实上
7、，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x21的值域，由P=y|y0,Q=y|y1，知QP，即PQ=Q应选B例2. 若P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x2,xR，则必有（ ）APQ= BP Q CP=Q DP Q【思路点拨】有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,xR相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,xR上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物【答案】A【解析】正确解法应为： P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此PQ=应选A举一反三：【变式】
8、若，则=（ ）A3B1CD1【答案】D【解析】类型二、集合元素的互异性 集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识例3.已知集合A=,b, 2b，B=,c, c2若A=B，则c的值是_【思路点拨】要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式 【解析】分两种情况进行讨论 （1）若b=c且2b=c2，消去b得：c22c=0，=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故0c22c
9、1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解（2）若b=c2且2b=c，消去b得：2c2c=0，0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=【总结升华】解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正举一反三：【变式】已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，则的值为_【思路点拨】由AB=A而推出B有四种可能，进而求出的值【解析】 AB=A， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，则令0得R且2，把x=1代入方程得R，把x=2代入方程得=3综上的值为2或3【总结升华】本题不能直接写出B=1，1，因为1
10、可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况类型三、集合的关系与运算例4.设集合A=|=3n2,nZ，集合B=b|b=3k1,kZ，则集合A、B的关系是_ 【思路点拨】【解析】任设A，则=3n2=3(n1)1(nZ)， nZ,n1Z. B,故 又任设 bB，则 b=3k1=3(k1)2(kZ), kZ,k1Z. bA，故 由、知A=B【总结升华】这里说明B或bA的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理举一反三：【变式】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围【思路点拨】先解不等式求得集合和【解析】
11、（I）由，得（II）由，得，又，所以，即的取值范围是例5.设集合,则满足的集合B的个数是（ ）A . 1 B .3 C .4 D . 8【解析】，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.【总结升华】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.例6.设全集U=x|0x10,xN*，若AB=3，ACUB=1，5，7，CUACUB=9，则集合A、B是_【思路点拨】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出【解析】A=1，3，5，7，B=2，3，4，6，8【总结升华】类似本题多个集合问题，借
12、助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果类型四、空集的特殊性空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误例7. 已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若A=，则实数m的取值范围是_【思路点拨】从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2(m2)x1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解
13、出m的范围【解析】由A=又方程x2(m2)x1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， 或=(m2)240解得m0或4m4【总结升华】此题容易发生的错误是由A=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言例8.已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，则实数p的取值范围是_【解析】由x23x100得2x5 欲使BA，只须 p的取值范围是3p3上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设应有：当B时，即p12p1p2由BA得：2p1且2p15由3p3 2p3.当B=时，即p12p1p
14、2由、得：p3点评：从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题类型五、集合的新定义问题例9.已知函数的定义域为实数集,满足(是的非空真子集),在上有两个非空真子集,且,则的值域为（ ）A B C D 【思路点拨】首先根据定义准确理解“”，根据集合所满足的条件分析元素与各个集合之间的关系，然后根据定义分别求出、以及的值，然后代入的表达式中求值.【答案】B【解析】因为，实数与集合、的关系共有三种：（1），则必有，又因为，故，根据定义得；（2），则必有，又因为，故，根据定义得；（3）且，显然，根据定义得.综上，函数的
15、值域中只有一个元素1，即函数的值域为，故选B.【总结升华】解决此类新定义的问题，其关键在于准确理解定义，然后根据定义进行逐步推理运算，将其转化为自己熟悉的集合知识，利用元素与集合之间的关系、集合之间的关系以及集合的基本运算问题来解决.【变式】设、为两个非空实数集合，定义集合，若， ，则集合中元素的个数是（）A2B3C4D5【答案】B【解析】当时，无论取何值，；当时，；当时，；当时，；当时，.故，该集合中共有三个元素.例10.定义集合运算：设,则集合的所有元素之和为 （ ）A0 B2 C3 D6【思路点拨】本题为新定义问题，可根据题中所定义的的定义，求出集合，而后再进一步求解【解析】由的定义可得
16、：，故选D【总结升华】近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；例11.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0，1，2，3，4。给出如下四个结论：20111；33；Z01234；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0。其中，正确结论的个数
17、是（ ）A1 B2C3D4 【思路点拨】对各个选项进行分析：20115=4021；-35=-12，整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=01234；从正反两个方面考虑即可得答案【答案】C【解析】20115=4021，20111，故正确；-3=5（-1）+2，-33，故错误；因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=01234，故正确；整数a，b属于同一“类”，整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b0”故正确故正确的是：，选C【总结升华】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题类型六、命题与逻辑联结词例12.已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c20 B. 存在R, 0 C. 对任意的R, 0 D. 对任意的R, 0【解析】由题否定即“不存在，使”，故选择D。【变式2】已知命题：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C.