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1、,3.4基本不等式:,基本不等式的几何背景,C,A,D,B,b,a,A,B,C,D,O,a,b,重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,如何证明?,基本不等式：,当且仅当a=b时，等号成立。,基本不等式的几何解释：,半径不小于半弦,深 入 探 究 揭 示 本 质,剖析公式应用,深 入 探 究 揭 示 本 质,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,基本不等式可以叙述为:,注意：（1）不等式使用的条件不同； （2）当且仅当a=b时取等号；,均值不等式,例1、(1)当x0时， ，当且仅当 x= 时取等号。,2,1,两个正数积为定值P，和有最小值 。,6
2、,3,例题讲解,你还有其他的解法吗？,两个正数的和为定值，积有最大值。,利用二次函数求某一区间的最值,令xy=z,则,Z=-x2+18x，,公式变形：,1、已知 则x y 的 最大值是 ，此时x= ,y= 。,2,基础练习,最值定理：若x、y皆为正数，则 （1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 大值_； （2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 小值_. 注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件.,一“正” 二“定” 三“相等”,和定积最大，积定和最小,注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定,解：x1 x10 x （x1） 1,已知x
3、1，求x 的最小值以及取得 最小值时x的值。,当且仅当x1 时取“”号。 于是x2或x0（舍去）,例,凑项法,即x=,时 ymax=,0 x,，1-3x0,y=x（1-3x）=,3x（1-3x）,当且仅当 3x=1-3x,解：,例,凑系数,小结评价,你会了吗？,1、本节主要学习了基本不等式的证明与初步应用。,巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗,2、注意公式的正用、逆用、变形使用。,3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三“等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。,（1）一正：各项均为正数。,（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。,（3）三相等：求最值时一定要考虑不
4、等式是否能取“”，否则会出现错误。,小结：运用 时要注意下面三条：,1、 求函数 的最小值.,【基础训练3】,2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0x2)的最大值是多少？,例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短最短的篱笆是40m.,结论1.两个正数积为定值，则和有最小值,例1：(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这
5、个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则 2(x + y)= 36 , x+ y =18,矩形菜园的面积为xy m2,=18/2=9,得 xy 81,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2,结论2.两个正数和为定值，则积有最大值,例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则 x +2 y= 36,矩形菜园的面积为S=xy m2,当且仅当x=2y,即x=18，y=9时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是,162m2,一正 、二定 、三等,两个不等式：,得：,几种利用基本不等式求最值的技巧:,2.凑系数,1.凑项,3.分离,4.“1”的妙用,小结：,练习,练习,