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1、6 行列式按行（列）展开,定义：在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的元素按原来的排列构成的 n1阶行列式称为 aij的余子式 记为Mij 而 Aij(1)i jMij称为aij的代数余子式,引理.,定理.,(行列式按第 j 列展开.),(行列式按第 i 行展开.),n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题.,解: 按第一行展开, 得,例1: 计算行列式,如果按第二行展开, 得,例2. 求,例3(03).,例4. 证明范德蒙行列式,定理的推论,注意:两个行列式只有第j行不同, 所以它们的第 j行的代数余子式对应相等.,关于代数余子式的重要性
2、质,性质. 设,中,的代数余子式是,则,例. 设,元的代数余子式记作,的,求,1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,小结,2.,7 克拉默法则,克拉默法则,若线性方程组,的系数行列式,则方程组有唯一解:,其中,定理.,非齐次线性方程组: b1,b2, ,bn不全为零.,齐次线性方程组: b1=b2= =bn=0.,定理.,证:,(2)只有零解当且仅当(2)有唯一解.,所以结论由上面的定理推出.,例1.,解:,例2.,解:,定理.,用克拉默法则解方程组的两个条件: (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.,小结,例1.,解:,计算行列
3、式.,例2: 计算,解:,例3: 计算,解:,例4: 计算,解:,例5.,例6: 计算,解:,例7.,四. 利用递推法计算行列式.,例8: 证明,证: 对阶数n用数学归纳法.,易知当n=1, 2时, 结论成立.,假设阶数小于n时, 结论成立.,由归纳假设,Dn-1 = cos(n1), Dn-2 = cos(n2).,所以,Dn = 2cos cos(n1) cos(n2),所以, 对任意的自然数n, 结论成立.,例9: 计算,解:,依第n列把Dn拆成两个行列式之和,(将上式右端第一个行列式的第n列 的(1)倍分别加到第1, 2, , n1列 上去; 将上式右端第二个行列式按 第n列展开.),所以, Dn = x1x2xn-1a + xnDn-1,= x1x2xn-1a + x1x2xn-2axn + xn-1xnDn-2.,而,= x1x2xn-1a + xn (x1x2xn-2a + xn-1Dn-2),