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1、第一章 乘法公式与因式分解第一节 乘法公式一、问题探究问题1 通过初中的学习，我们知道，那么，你能用学过的知识推导出等于多少吗？推导过程如下：你的结论是 我们把上面得到的公式叫做两数和的立方公式.若将公式中的全部换为，则结论为： ，这个公式叫做两数差的立方公式.上述两个公式称为完全立方公式二、知识应用1化简 2由完全立方公式可得，即 由此可得两数的立方和公式：将两数的立方和公式中的全部换为，则结论为： 此公式称为两数的立方差公式3对任意实数，试比较与1的大小.三、课堂探究问题2 在前面的学习中，我们将初中学习过的完全平方公式从指数2推广为指数为3，得到了完全立方公式.有兴趣的同学还可以将指数推
2、广到4，5，.从另一个角度，我们还可以从项数的角度推广.你能写出展开的结果吗？ 4已知，求下列各式的值：（1）；（2）.5已知，求证：.四、课后练习1若，则=A.128 B.464 C.496 D.5122若，则A.0 B. C. D.3设，对任意的，则的大小关系为A. B. C. D.不一定4= 5观察下列各式的规律：可得到 6求函数的最大值.7当时，求代数式的值8已知为非零实数， ，求证.第二节 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形.我们已经学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法.下面我们将学习另外两种分解因式的方法：十字相乘法和分组分解
3、法.一、十字相乘法11pq1p+1q=p+q1问题思考：我们知道，形如的二次三项式，它的特点是：二次项系数是1，常数项与一次项系数可以通过如图的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到的形式.运用上述方法，你能对进行分解吗？对于你还能分解吗？2归纳：像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.3知识运用（1）将下列各式分解因式；（2）分解因式：二、分组分解法1问题思考观察多项式，它的各项有没有公因式？能否用十字相乘法分解因式？若将前两项与后两项分别提取公因式，看看有什么发现？ = 2归纳：一般的，如果把一个多项式的项适当分组，并提取公因式后，各组之间又出现新的公因式，
4、那么，这个多项式就可以用分组分解法来分解.3知识运用（1）将下列各式分解因式：； （2）分解因式（提示：可将“”拆成两项，再分组分解）（3）已知，化简：三、课后练习1对多项式用分组分解法分解因式，下面分组正确的是A. B. C. D. 2要使二次三项式在整数范围内可分解，为整数，那么，的取值可以是A. 2个 B.3个 C.5个 D.6个3把多项式分解因式，结果是A. B. C. D. 4 = ） ）5将下列各式分解因式：（1）； （2）6将下列各式分解因式：（1）；（2）.7已知，试用表示.8当时，.请根据这一事实，将分解因式.第二章 分式与根式第一节 分式及其运算一、分式的运算分式运算与因式
5、分解有着密切的关系，掌握了各种乘法公式和因式分解法，可以使分式运算能力得到提高.下面我们通过几个例子，总结一下我们如何准确、快速的进行分式的运算.1 计算：【分析】分式的运算与约分有关，应先考虑将各分式的分子分母分解因式.2先化简，再求值：其中，.【分析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，细心完成每一步.化简时注意先从整体上观察分子、分母的结构，先分解因式，再运算.3已知，求的值. 【分析】观察已知式与所求式之间的关系，利用倒数建立联系.二、分式的证明4已知，求证【分析】由已知两式消去即可得含的式子.5已知，求证【分析】此题通分不可取，可利用此式为关于的轮换对称式，或减元，或代入.三、繁分式我
6、们知道，形如，这样分母中含有字母的代数式叫分式，而像，这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分数.繁分数可以通过适当的代数变换化为普通的分式.6化简：四、课后练习1下列运算中，错误的是A. B. C. D.2若，则=A.10 B.15 C. D. 3若则A.1 B.2 C.3 D. 44化简：5化简：6计算：7已知求证：8已知求的值.第二节 根式及其运算一、根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式.最简根式满足以下3个条件：（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；（3）被开方数不含分母.把分母中的根号化去，叫做分母有理化.例如，.在
7、根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号.试完成下列问题：1化简：（1）；（2）；（3）【分析】分母有理化通常是把分子分母都乘以同一个不等于零的适当代数式（有理化因式），使分母不含根号.其中第（2）题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第（3）题也可以将分子用立方和（差）公式分解因式后进行约分.2计算：【分析】观察分子和分母，发现，因此，可以先将它们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化.3计算：【分析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排运算顺序，使计算简便.4已知，求的值.【分析】鲜花见、再求值，同时注意二、根式的证明5已知， 且， 其中， 求证：.【分析
8、】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方.6已知都是非负数，并且，求证：.【分析】在两边平方过程中，注意不一定有,只有A,B同号时才相等.三、n次根式一般的，如果，那么，x就叫做a的n次方根；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号表示；正数a的负的n次方根用符号表示.当n为奇数时，任意实数都只有一个与它同号的奇次方根.本节讨论的范围都在实数范围内.7（1）求的5次方根；（2）求的6次方根.【分析】根据n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果.须注意的是正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉一个.求方根时，为减低难度，可以把被开方数中比较大的数做质因数分解.8（1）当时，求的
9、值；（2）若n为自然数，的取值范围是什么？【分析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论.四、小结、归纳n次根式的性质（1）（2）当n为奇数时，；当n为偶数时，（3）；五、课后练习1下列说法正确的是：A.正数有一个偶次方根 B. 负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根 D.正数有两个奇次方根2当时，A. B. C. D.3把分母有理化的结果是（ ）A. B. C. D.4的7次方根是 ； 0的8次方根是 ； 的4次方根是 ；的4次方根是 .5计算：= ；= ；= ；= .6已知，求的值.7化简：8化简：（1）；（2）9证明：第三章 方程与方程组第一节 三元一次方程组一、回顾与思考
10、1你能举例说明什么是二元一次方程组吗？你能说说解二元一次方程组的思路与方法吗？2以下两个方程组是二元一次方程组吗？如果不是，你能给他起一个新的名字吗？（1）；（2）3三元一次方程组的定义是 二、类比与探索你能类比二元一次方程组的解法求解上面提到的两个三元一次方程组吗？（1）；解：（2）解：三、归纳与小结解三元一次方程组的思路是 方法有 如果是四元、五元方程组你还能求解吗？四、能力提升解方程组解完这道小题，你有哪些收获？五、课后练习1解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取A.先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不对2已知方程组，则的值是A.14 B.2 C.-14 D.
11、-23已知方程有公共解，则的值是A.6 B.5 C.4 D.34当时，二次三项式的值分别为5,6,10，则a= b= , c= 5已知方程组，则 6解下列三元一次方程组（1） （2）7若，求的值.8已知，求的值.第二节 一元二次方程的根的判别式一、知识回顾通过初中的学习我们知道，称为一元二次方程 ，常用“”表示，当时，方程有 ；当时，方程有 ；当时，方程有 。你能说说上述结论是如何得出的吗？二、知识应用1不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）；（2）；（3）.2已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的值. 【分析】将方程化成一般形式，二次项系数。因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以.
12、3证明：关于的一元二次方程没有实数根. 【分析】要证一元二次方程没有实数根，只要证即可.4当为何值时，关于的方程有实数根. 【分析】因为未指明方程的次数，所以应分和两种情况讨论.三、课后练习1方程中，无实根的方程有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2关于的方程中，若，则根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法确定3关于的方程中，若与异号，则根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法确定4若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 .5若二次三项式在实数范围内总
13、能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是 .6不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）； （3）.7证明：关于的方程必有实数根.8已知关于的方程有实数根，求的取值范围.第三节 韦达定理及其应用一、问题探究当时，一元二次方程的两根分别为 ； ；由此得到= ； 。上述方程的两根和系数之间的关系叫做韦达定理。二、定理应用 1根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积： （1）； （2）； （3）. 【分析】化成一元二次方程的一般形式，直接应用韦达定理来求.2已知方程，求：（1）两根的倒数和； （2）两根的平方和.【分析】本题可以先求出方程的根，但是计算较繁.根据韦达定理，将代数
14、变形成含有形式的式子，可以简化运算.3当取何值时，关于的方程，（1）有一根为零；（2）有两个互为相反数的实数根；（3）两根互为倒数.4写出一个一元二次方程，使它的两个根为和.【分析】方程的根是由它的系数决定的，给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程，但得到的一元二次方程不唯一，不过它们各次项的系数对应成比例.为了方便，一般设所求的方程为.三、课后练习 1设是方程的两根，则的值是（ ）A.15 B.6 C.12 D.3 2以方程的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）A. B. C. D. 3若是方程的两实数根，代数式的值是（ ）A. B. C. D. 4若关于的方程的两实根互为倒数，则的
15、值是 . 5以方程的两个根的平方为根的方程是 . 6设是方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）； （2）； （3）.7已知关于的一元二次方程，两根之比为，求证：. 8已知关于的一元二次方程，两个实根的平方和为，求的值. 第四节 可化为一元二次方程的分式方程 一、回顾与探索初中我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程的解法，你能说说解法步骤吗？下面我们将进一步学习可化为一元二次方程的分式方程的解法。类比可化为一元一次方程的分式方程的解法步骤，尝试解决下面的问题： 1解方程. 【分析】解分式方程，首先要找这个分式方程的最简公分母，然后方程两边同乘以最简公分母，约去分母，使分式方程化
16、为整式方程. 想想看，需要验根吗？ 小结：可化为一元二次方程的分式方程的解法一般步骤：二、巩固练习2 解方程. 【分析】将分式方程的分母进行因式分解，从而确定出最简公分母是. 3 解方程. 【分析】按一般解法，应先去分母，整理后为一元四次方程，结果较繁.观察方程，左边的两个分式和互为倒数，可以通过“换元”，将方程化简. 三、课后练习 1.解下列方程： （1）； （2）. 2. 解下列方程： （1）； （2）. 3.解下列方程： （1）； （2）. 第五节 简单的根式方程 一、学习新知像，这类根号内含有未知数，且根指数为2的方程叫二次根式方程。二次根式方程可以通过两边平方，化为整式（或分式）方程
17、来解，不过在两边平方时有可能产生增根，所以，一般要带入原方程进行检验。二、例题分析例1 解方程. 【分析】通过两边平方化为整式方程. 例2 解方程. 【分析】方程左边有两个二次根式，如果直接平方，结果较繁.一般把其中一个根式移到方程的右边，使方程左右两边各含有一个根式. 例3 解方程. 【分析】是的算术平方根，如果直接平方，结果较繁.若设，则原方程就转化为关于的一元二次方程. 三、课后练习 1.解下列方程： （1）； （2）.2.解下列方程： （1）； （2）.3.解下列方程： （1）； （2）.第六节 简单的一元二次方程组 一、学习新知像这类含有两个未知数，并且含有未知数项的最高次数为2的整
18、式方程，叫做二元二次方程。由含有相同未知数的两个二元二次方程，或一个二元二次、一个二元一次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。 解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解。解二元二次方程组的基本思路是消元和降次，消元就是将二元化为一元，降次就是把二次降为一次，其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。 二、例题分析 例1 解方程组 例2 解方程组 【分析】方程变形为，把它化成两个二元一次方程和，分别与方程组成方程组 解这两个方程组即可.例3 解方程组 【分析】方程是根式方程，将其移项，再两边平方得.这样，方程组就转化成为前面已有的形式. 三、课后练习
19、1.解方程组： （1） （2）2.解方程组： （1） （2）3.解方程组： （1） （2） 第四章 函数的图像与性质第一节 二次函数的图像和性质一、知识回顾函数是反映现实世界中变量间关系和变化规律的一种数学模型。在高中阶段，函数将是一个重点内容。函数在学习其他知识以及解决问题中有广泛的应用。二次函数是初中我们学习过的一种重要函数，而且知道它的图像是一条抛物线，下面我们简要回顾一下二次函数的图像与性质，请完成下列表格：图像yxoxo对称轴顶点最值增减性oxyAB二、二次函数图像与性质的应用例1 已知二次函数，当时的函数值与当时的函数值相等，求当时的函数值. 【分析】如图，如果是二次函数的图像上纵
20、坐标相同的两个点，则 由得.因为，所以有 对照二次函数的图像的对称轴为，有为二次函数图像的对称轴.反之，如果为二次函数图像的对称轴，那么自变量取时的函数值相等。（请同学们自己证明.）用上述知识可解本题. 例2 已知二次函数，当时，随着的增大而增大，求的值. 【分析】利用二次函数图像的对称轴与增减性，只要对称轴在的左边即可.三、求二次函数的解析式我们知道，一般情况下，二次函数的解析式有两种形式：（1）一般式： ；（2）顶点式：，其中顶点坐标是。求二次函数的解析式，就是求或。通常需要通过分析二次函数的图像与性质，并运用待定系数法等才可解得。例3 已知二次函数的图像过点，求此二次函数的解析式.例4已
21、知二次函数的图像过点，且顶点到轴的距离等于2，求此二次函数的解析式.【分析】利用二次函数的图像的性质得到其顶点，再利用二次函数的顶点式或一般式解决.四、课后练习 1.若，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 2.已知二次函数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D.3.已知二次函数，当时的函数值与当时的函数值相等，则二次函数的图像 （ ） A.关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于轴对称4.开口向下的抛物线的对称轴经过点，则 .5.已知某二次函数的图像过点，求此二次函数的解析式.6.已知某二次函数的图像的顶点
22、为，它与轴两个交点之间的距离为6，求此二次函数的解析式. 第二节 二次函数与二次方程一、回顾与思考我们知道，二次方程的根就是二次函数的图像与轴公共点的横坐标，设，则当时，二次方程有两个不等的实数根，二次函数的图像与轴有两个不同的交点；当时，二次方程有 ，二次函数的图像与轴 ；当时，二次方程 ，二次函数的图像与轴 . 若二次函数的图像与轴有两个不同的交点，即是二次方程的两个根，那么二次函数的解析式与有什么关系？不难得到，是表示二次函数的一种解析式（两根式），其中是二次方程的两个根.二、例题分析 例1 求的取值范围，使得二次函数的图像与轴分别有 （1）两个公共点； （2）一个公共点； （3）没有公
23、共点. 【分析】讨论二次函数的图像与轴的公共点，可转化为讨论相应的一元二次方程实数根的情况，于是可以利用一元二次方程的根的判别式.例2 已知二次函数的图像过点，且顶点到轴的距离等于2，求此二次函数的解析式.【分析】可利用二次方程的两根式解决.例3 已知二次函数同时满足下列条件：（1）对称轴为；（2）最大值为15；（3）二次函数的图像与轴有两个交点，其横坐标的立方和为17. 求此二次函数的解析式.【分析】由于条件有对称轴和最大值，所以可利用二次函数的顶点式；由条件（3），可以联系韦达定理解决.三、课后练习1.函数的图像与轴的公共点的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.无法确定yxoBA4
24、P 2.如图，已知二次函数的图像的顶点的横坐标为4，图像交轴于点和点，且，那么的长为 （ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线与轴交点为和，则 ， .4.的图像与轴交于两点，则之间的距离为 .5.求的取值范围，使得二次函数的图像与轴分别有 （1）两个交点； （2）一个公共点.6.已知某二次函数的图像与轴交于，且过点，求此二次函数的解析式. 第三节 函数图像的变换 一、学习新知我们已经学会了用描点法画正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图像，现在我们进一步探讨用平移和对称两种图形变换的方法来画函数的图像。二、平移变换所谓平移变换就是将一个图形上的所有点，沿同一方向移动相同的距离得
25、到一个新的图形。在坐标平面内，可以从函数图像中点的坐标的变化来考察函数图像的整体变化。例1 考察函数，与的图像变换关系. 小结：一般的的图像可以看作是将函数图像上的所有点沿 向 平移 个单位后得到的图像。的图像可以看作是将函数图像上的所有点沿 向 平移 个单位后得到的图像。例2 （1）函数的图像可以由函数的图像如何变换得到？ （2）函数的图像可以由函数的图像如何变换得到？三、对称变换 所谓对称变换，就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新图形（即两个图形关于此直线对称）例3 函数的图像是抛物线，下列的两个函数的图像与它有什么关系？ （1） （1） 例4 画出的图像. 【分析】可寻求此
26、函数的图像与二次函数的图像的变换关系. 四、课后练习 1.函数的图像经过下列某个平移变换得到函数的图像，则此平移变换是 （ ） A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位C. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 2.如果点是函数图像上的一点，那么下列点一定在函数图像上的是 （ ） A. B. C. D. 3.将函数图像上的所有点向左平移1个单位得到一个图像，其所对应的函数解析式是 （ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图像向 （左或右）平移 个单位，就可以得到函数图像，再将此函数的图像向 （上或下）平
27、移 个单位，就可以得到函数的图像. 5.将函数图像上的所有点通过 变换得到函数的图像.（只要写出一种你认为合适的图像变换即可.） 6.试分析函数的图像与函数的图像的关系，并画出此函数的图像. 7.画出函数的图像，并通过图像的变换画出下列函数的图像： （1）； （2）； （3）. 第四节 函数性质的应用ABCD 一、求自变量在指定范围内时函数的最值例1 将一根长为的铁丝折成如图所示的形状（上部为半圆形，下部为长方形），求此图形的面积的最大值. 【分析】图形的面积可以随着长的变化而变化，由此可选取的长为自变量，并确定的取值范围，将图形的面积表示成的一个函数，利用函数的知识求出在限定范围内的最大值.
28、 例2 已知（为大于的常数），求函数的最大值和最小值. 【分析】可借助函数的图像，再根据条件，截取抛物线的一部分，从中观察图形中的最高点和最低点. 小结：二、利用函数的图像解不等式观察函数的图像特点，你能由下列函数值的范围确定自变量的取值范围吗？（1） ； （2） ； （3）。例3 试利用函数知识，解不等式：. 例4 对于任意的实数，二次函数的函数值恒大于，求实数的取值范围. 【分析】借助对二次函数的图像特点的分析，可获得系数所满足的不等关系，由此可得出解答. 三、课后练习 1.在且的条件下，函数的函数值的取值范围是 （ ） A. B. ，且 C. D. 2.函数的最小值为 （ ） A. B. C. D.3.使函数的函数值的自变量的取值范围是 （ ） A. B. C. D. x o2-1x 4.若已知函数的图像如图所示，则不等式的解为 , 不等式的解为 .5.求函数在下列范围内的最大值和最小值： （1）； （2）； （3）.6.试利用函数的图像与性质解不等式： （1）； （2）.7.在的条件下，求函数（为实常数）的最大值和最小值.8.某商店以每件20元的价格购进货物，然后以每件30元的价格出售，每月可售出400件.试销中发现，若每件售价每提高1元，则货物少售出20件，每件售出应为多少元，才能使利润最大？