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1、第二章 函数,理解教材新知,4 二次函数性质的再研究,把握热点考向,应用创新演练,考点一,考点二,考点三,4.1 二次函数的图像,给定下面几个函数 f(x)x2，f(x)2x2，f(x)2(x1)21 问题1：由f(x)x2的图像如何得到f(x)2x2的图像？ 提示：f(x)x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可得到f(x)2x2的图像,问题2：由f(x)2x2的图像如何得到f(x)2(x1)21的图像？ 提示：把f(x)2x2的图像沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1个单位，即可得到f(x)2(x1)21的图像 问题3：f(x)2x2与f(x)2x2的图像有什么区别？ 提
2、示：开口大小相同，开口方向相反,1二次函数的定义 函数 叫做二次函数，定义 域为 . 2二次函数的图像变换 (1)二次函数yax2(a0)的图像可由yx2的图像各点的 坐标变为原来的 倍得到； (2)从图中可以看出，二次函数yax2(a0)中的a决定了 图像的 和在同一直角坐标系中的 ；,f(x)ax2bxc(a0),R,纵,a,开口方向,开口大小,(3)二次函数ya(xh)2k(a0)，a决定了二次函数图像的 及 ；h决定了二次函数图像的 ，而且“h正 移，h负 移”；k决定了二次函数图像的 ，而且“k正 移，k负 移”,开口大小,方向,左、右平移,左,右,上、下平移,上,下,作二次函数f(
3、x)ax2bxc(a0)的图像有两种方法：一是将f(x)ax2bxc配方，然后利用列表、描点、连线的方法作出二是先作出 f(x)x2的图像，然后通过图像变换得到 f(x)ax2bxc的图像,例1在同一坐标系中作出下列函数的图像 (1)yx2；(2)yx22；(3)y2x24x. 并分析如何把yx2的图像变换成y2x24x的图像 思路点拨对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析yx2与y2x24x的关系,精解详析(1)列表：,描点、连线即得相应函数的图像，如图所示 由图像可知由yx2到y2x24x 的变化过程如下 法一：先把yx2的图像向右平移 1个单位长度得到y(x1)2的图
4、像， 然后把y(x1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y2(x1)2的图像，最后把y2(x1)2的图像向下平移 2个单位长度便可得到y2x24x的图像,法二：先把yx2的图像向下平移1个单位长度得到yx21的图像，然后再把yx21的图像向右平移一个单位长度得到y(x1)21的图像，最后把y(x1)21的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到 y2(x1)22，即y2x24x的图像,一点通任意抛物线yax2bxc都可转化为ya(xh)2k的形式，都可由yax2图像经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示,即上述平移规律“h值正、负，左、右移”，亦即“加时左移，减时右移”；
5、“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”,1如何把y2x24x的图像变换为yx2的图像？,因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可 (1)利用二次函数的对称性列表：,例2根据下列条件，求二次函数yf(x)的解析式 (1)图像过点(2,0)、(4,0)、(0,3)； (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)； (3)过点(1,1)、(0,2)、(3,5),思路点拨,一点通 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解 (1)若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式yax2bxc
6、，a、b、c为常数，a0的形式,(2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式ya(xh)2k (其中顶点(h，k)，a为常数，a0) (3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式ya(xx1) (xx2)(a为常数，且a0),3若将二次函数的图像向下、向右各平移2个单位得到图像 的解析式为yx2，则原二次函数的解析式是 () Ay(x2)22By(x2)22 Cy(x2)22 Dy(x2)22 解析：将yx2的图像向左、向上各平移2个单位，即可 得到原函数的图像，即y(x2)22. 答案：B,4已
7、知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，2)且过点(2,4)，则 f(x)_. 解析：设f(x)a(x1)22， 因为过点(2,4)， 所以有a(21)224，得a6. 所以f(x)6(x1)226x212x4. 答案：6x212x4,5已知二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值 如下表：,求该函数的解析式,例3已知二次函数y2x24x6. (1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像； (2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积； (3) x为何值时，y0，y0，y0? 思路点拨(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对
8、称性列表描点可画出图像；,(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y0、x0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积； (3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y0)时x的取值范围，y0与y0， 函数图像开口向上，对称轴是直线x1，顶点坐标是(1，8),列表：,描点并画图，得函数y2x24x6的图像，如图所示；,答案：B,7若方程x22x3a有两个不相等的实数解，求 实数a的取值范围,解：令f(x)x22x3，g(x)a. 作出f(x)的图像如图所示,f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x22x3a解的个数 由图可知当a4时，f(x)与g(x)有两个公共点，即方程x22x3a有两个实根 缩上所述，当方程x22x3a有两个实数解时，实数 a的取值范围是(4，),1yax2(a0)的图像与yax2bxc(a0)的图像之间进行变换时应先将yax2bxc进行配方，平移时应注意平移的方向及单位长度 2求二次函数的解析式一般采用待定系数法，当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件与x轴的交点坐标有关时，可选用两根式,3在利用数形结合的思想解决与二次函数的图像有关的问题时，只需要画出二次函数的大致图像(画出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、特殊点)即可,点击下列图片进入应用创新演练,