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1、函数的单调性蕉岭县华侨中学 何映花教学背景：函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用。对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味。因此，授课时需加强对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理。另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做到的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知
2、过程中的难点。因此在课堂上突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用。还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中比较法的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫。本课还涉及函数单调性的简单应用，即求函数的最值的应用，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数，更清楚地表述道理。教法说明：针对学生这种情况，本节课采用问答式、探究式教学法。教师
3、在课堂教学中只起着向导作用，让学生在教师的提问中自觉的发现新知，探究新知。并且加入激励性的语言提高学生学习的积极性，让学生参与知识形成的全过程。从而激发了学生的学习动机，提高了课堂教学的效率。 知识目标：理解函数单调性的概念及其应用。能力目标：培养学生应用数形结合的思想，观察问题、分析问题的能力。提高学生利用数学概念进行判断推理的能力。情感目标：培养学生唯物主义思想观念，通过学生自己对概念的归纳、理解加强学生的自信心。养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。教学重点：单调函数的概念是重点。教学难点：函数单调性的判断与证明。使用教具：多媒体教学教学过程：一、创设情境，引入课题1、下图是北
4、京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题： (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (3)哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容.1借助图象，直观感知问题1：分别作出函数，的图象，并且思考（1） 函数的
5、图象从左至右是上升还是下降，在区间_上的值随x的增大而_（2） 函数的图象从左至右是上升还是下降，在区间_上的值随x的增大而_（3） 函数在区间_上，的值随x的增大而增大（4） 函数在区间_上，的值随x的增大而减小设计意图从图象直观感知函数单调性2抽象思维，形成概念问题：你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗？任取,因为,即，所以任意的，（），,则任意的，（），,则师生共同探究，得出增函数和减函数的定义：增函数定义：如果函数y=f(x)在数集I上满足：随着自变量x的增大，因变量y也增大，那么称y=f(x)在数集I上单调增，也称y=f(x)在数集I上是增函数数学语言描述： 如果函数y=f(x)
6、在数集I上满足：对于任意的，I,当时，f()f()，则称y=f(x)在数集I上单调增，也称y=f(x)在数集I上是增函数。同学们根据增函数的定义给出减函数的定义设计意图函数的单调性的概念的引入，就是通过设问从具体形象到抽象，由感性到理性。引导学生通过自己的观察、思考形成新的知识结构。在引出增、减函数的定义时，强调要注意“任意”、“都有”几个关键的词。又在分析单调区间的概念时，说明单调区间分单调递增区间和单调递减区间，并通过图形直观地理解定义。这样使学生不仅掌握新授概念，而且掌握了相关概念间的纵横联系，形成知识结构。把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度事实上也给出了证明单调性的方法，为证明
7、单调性做好铺垫.判断题：若函数通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数) 函数的单调性就是函数的增减性设计意图让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解.有了函数的单调性这一概念就有如下概念：如果函数在某区间上是增函数，就称该区间为函数的单调增区间。如果函数在某区间上是减函数，就称该区间为函数的单调减区间。练一练下图为函数的图像，找出它的单调区间以及在每个区间上是增函数还
8、是减函数。设计意图根据图象来说明一个函数的单调区间，以及在每个单调区间上是增函数还是减函数，可让学生根据图象自己回答，并指出从图象上进行观察是一种虽然常用，但较为粗略的方法，严格来说还需要推理论证。这种对概念进行辩析，加深理解，融能力培养于概念之中的教学方法，是加强基础开发潜能的有效手段。三、掌握证法，适当延展例1、 证明函数在R上是增函数1分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流证明：任取, 设元 求差 变形断号即 定论函数函数在R上是增函数 2归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论练习：证明函数 在上是增函数4、 定义变形，灵活运用上面我
9、们已经得到：如果函数y=f(x)在数集I上满足：对于任意的，I,当时，f()f()，则称y=f(x)在数集I上单调增，也称y=f(x)在数集I上是增函数。这个定义可以适当变形：（1）如果函数y=f(x)在数集I上是增函数，对于任意的，I,当f()f()时，则。（2） 如果函数y=f(x)在数集I上是增函数，对于任意的，I,当时，则f()f()。同学们根据增函数的定义变形，写出减函数的定义变形。例2、已知f（x)是在R上的增函数，解不等式：f(2x+1)f(1-3x)。分析：这是一个抽象函数，它的解析式是求不出来的，这可以说是一个难点。但通过这节课所学的知识由增函数定义的变形1可知，原不等式可转
10、化为2x+1f(2x-1)。设计意图增函数的定义变形，让学生明白：如果函数y=f(x)在数集I上满足：对于任意的，I,知道了x1x2，f(x1)f(x2),f(x)在I上是增函数。其中两个都可以得第三个结论。这种对定义进行变形，从而达到对定义的灵活运用加深理解，融能力培养于定义之中的教学方法，是加强基础开发潜能的有效手段。五、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结1小结(1)函数单调性的定义 (2) 证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论 (3)判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据其定义进行证
11、明的较为严格的方法，最后根据观察图象得出猜想，用推理证明猜想的思想，将以上两种方法统一起来。(4) 对单调性定义的变形的灵活运用。 2作业书面作业：P37练习第1、2、35、 课后反馈在课堂教学中要激发学生主动参与的意愿，引导学生积极主动地提出问题、分析问题、解决问题，本堂课从一开始问题引入到最后解决问题，学生始终处在设问-分析-解决的过程之中。在教学过程中，始终贯彻了一个思想，即学生能自己解决的问题，让他们自己去解决；学生自己不能解决的问题，教师站在学生的立场上与学生一起探索、解决。总的来说，本堂课是以学生为主体的。给学生以较多的活动机会，可总结为四给：（一）给学生以看的机会；（二）给学生以想的机会；（三）给学生以说的机会；（四）给学生以练的机会。这样，既调动了学生的积极性，又培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思