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1、有趣的数学巧计妙算-均值定理的应用发现襄阳市南漳县职教中心 张丽：很久以前有一个心眼很坏的地主。到年底了，他不想给长工发工资，就想了一个坏主意。他对长工说：“我家有很多地，现在老爷想给你们分一些当一年的工钱，但是我有一个条件，你们只能用我给的这根100米长的绳子去圈一个长方形，最后圈的多少就给多少？如果你来圈你会怎么圈？ 可以把这个故事改变成一个数学题。 例1：一条长为100米的绳子，用它围成一个矩形，问它的长宽各等于多少时，矩形的面积最大？ 分析：矩形的面积=长X宽 A B C D 解:设长方形的长为X米,宽为Y米,则: XY=50 又因为 X+Y2XY所以 XY(X+Y)/2=625n 例
2、1：已知直角三角形的周长为定值a，求它面积的最大值。 分析：要求直角ABC的面积，只需要两条直角边就可以了。 A BC 解：设直角边AB为X,BC为Y .则：AC= X2+Y2 a=X+Y+ X2+Y2 2XY+2XY=(2+ 2)XY 即:a (2+ 2) X.Y 所以XY (3-22) a2所以S=1/2XY ( 3-22) a2当且仅当X = Y = (2-22) a. 时,面积有最大值.v 2：把边长为a的正方形铁皮四个角各剪去一个大小相同的小正方形，然后把剩余的折成一个无盖铁盒，求小正方形边长为多少时，盒子的容积最大？ 解：设小正方形的边长为X ，盒子容积为Y,则：Y=X (a-2X）2=1/4X4X (a-2X)2 1/4（4X+ a-2X+ a-2X）/3=1/4（2a/3)3 =2a3/27当且仅当 4X=a-2X，即 X=a/6时，Y有最大值2 a3/27