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1、第11讲 利用导函数解决恒成立与零点问题 一、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点二、求函数的极值的三个基本步骤（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在 这个根处取得极大（小）值.三、求函数最值（1）求函数在区间上的极值；（2）将极值与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个 就是最小值.四、不等式的恒成立问题（1）若在上恒成立，等价于在上的最小值成立（2）若在上恒成立，等价于在上的最
2、大值成立（3）对任意，都有成立，等价于构造，（4）对任意，都有成立，等价于构造，（5）对任意，都有成立的充要条件是（6）对任意，都有成立的充要条件是五、不等式的能成立（存在性）问题（1）若存在使得在上能成立，等价于在上的最大值 成立（2）若存在使得在上能成立，等价于在上的最小值 成立（3）若存在，使得成立，等价于构造，（4）若存在，使得成立，等价于构造，（5）若在，至少存在一个使得成立等价六、不等式的恒成立与存在性的综合问题（1）对任意，存在，使得成立，等价于在上的最大 值在上的最大值（2）对任意，存在，使得成立，等价于在上的最小 值在上的最小值.1.恒成立问题中分离变量法的应用 2.讨论零点
3、问题时注意函数是否是渐近类型的增减 3.最值问题与恒成立或存在性问题的结合 【例1】 若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B C D解析：函数在上单调递减的含义是在上恒小于等于0，所以属于恒成立问题，可以采用分离变量的方法，即,这样可以理解为求在上的最大值答案：A【例2】 已知函数，若在上是单调增函数，则的取值范围是_解析：函数在上单调递增的含义是在恒大于等于0，所以属于恒成立问题，可以采用分离变量的方法，即，这样可以理解为求在上的最大值，答案： 【例3】 若，则函数在区间上零点的个数为_解析：求导可知，令可得，所以在上单调递增，在上单调递减。又，所以在上只有1个零点答案：1个【
4、例4】 已知函数. （）求的单调区间； （）是否存在实数，使得对任意的，都有？若存在，求的取 值范围；若不存在，请说明理由.解析：（）的定义域为. . 当时，在区间上，. 所以 的单调递减区间是.当时，令得或（舍）.函数,随的变化如下：+0极大值所以 的单调递增区间是，单调递减区间是. 综上所述，当时， 的单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.（）由（）可知：当时, 在上单调递减.所以在上的最大值为，即对任意的，都有. 当时， 当，即时，在上单调递减. 所以在上的最大值为，即对任意的，都有. 当，即时，在上单调递增， 所以 .又 ，所以 ，与对于任意的，都有矛盾. 综上所述，
5、存在实数满足题意，此时的取值范围是.【例5】 已知函数在上是增函数，在上是减函数 （）求b的值； （）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围解析：（）， 在上是增函数，在上是减函数， 当时，有极大值，即， （）， 在上是增函数，在上是减函数， ，即 曲线在直线的上方，设， 在时，恒成立 ，令，两个根为，且， 极小值 当时，有最小值 令， ，由， . 【例6】 已知函数.当时，求证：；解析：设，则. 令，解得. 在上变化时，的变化情况如下表-+ 所以 当时，取得最小值. 所以 当时，即. A【题1】 若在上是减函数，则的取值范围是（ ） A B C D【题2】 已知函数在上是单调函数，则实数的取值
6、范围是（ ） AB CD【题3】 已知函数，若的单调递减区间是，则的值是_【题4】 已知（） （）求函数的单调递减区间；（）当时，若对任意有恒成立，求实数的取值范围【题5】 已知函数，是常数，R（1）求函数的单调区间；（2）证明:函数的图象在直线的下方B【题1】 已知函数 . （）求函数的单调区间； （）若对任意的，都有成立，求的取值范围.【题2】 已知函数（1） 当时，求函数的极小值；（2）当时，讨论曲线轴的公共点的个数【题3】 已知函数.()求的单调区间；()如果是曲线上的点，且，若以 为切点的切线的 斜率恒成立，求实数的最小值. 【题4】 已知（）（）求函数的单调递减区间；（）当时，若对
7、任意有恒成立，求实数的取值范围【题5】 已知函数，.() 当时, 求函数的单调区间；() 当时，若任意给定的,在上总存在两个不同的，使 得成立，求的取值范围C【题1】 已知函数 （1）求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点， 求的取值范围【题2】 函数,其中实数为常数. 若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围. 【题3】 已知函数，其中是常数若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围【题4】 已知函数，若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围【题5】 已知函数.（）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（）当时，讨论函数零点的个数 【题1】
8、若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【题2】 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（） ABCD【题3】 若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是_【题4】 已知函数，其中（）求函数的单调区间；（）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.【题5】 已知函数，其中是自然对数的底数，.（）求函数的单调区间；（）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由. 【作业1】 已知函数若时，求的取值范围【作业2】 已知函数.若曲线与直线 有两个不同的交点,求的取值范围.【作业3】 已知函数(,为自然对数的底数).当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【作业4】 已知函数.若恒成立，求的值.【作业5】 已知函数，. 当，时，求证：【作业6】 已知函数.(I)当时,求函数的单调区间;(II)设,且函数在点处的切线为,直线,且在轴上的截距为1,求证:无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方;【作业7】 设函数，（）求的单调区间和极值；（）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点【作业8】 已知函数，其中.当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立；16