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1、利用对称性_奇偶性计算二重积分 第卷第期年月天津职业院校联合学报利用对称性、奇偶性计算二重积分李娟（）河东区职工大学，天津摘要：给出二重积分的特殊计算方法，并通过例题对这四种情形加以进一步的说明，结果利用区域对称性，表明，该方法简单方便。关键词：奇偶性；重积分对称性；）中图分类号：文献标识码：文章编号：（多元函数微分学与一元函数微分学有着密切的联系，有很多共同点，但有质的差别。同样，重积分是，定积分的推广和发展。但是它们的基本思想是一致的，都是“分割、求和、取极限”本质都是和式的极限，只是重积分的被积函数变量多了而已。在一元函数中，可利用对称区间，函数的奇偶性简化定积分的计算，即若函数（）在上
2、连，且（则续，）是偶函数，则若函数（且（）（），）在上连续，）是奇函数，（也可利用区域对称性，简化运算，但情况相对来说比较复杂，既要）。同样在二重积分中，（还要讨论函数在该区域的奇偶性。考虑区域的对称性，利用对称性、奇偶性计算二重积分可分下列四种情形：情形一：（若区域关于轴对称，则（当（即（，）（），）在区域，上是关于变量的偶函数，则（当（即（，）（，），）在区域上是关于变量的奇函数，则（，。）情形二：（若区域关于轴对称，则（当（即（，），），）（），）在区域上是关于变量的偶函数，则（当（即（，（，）（），）在区域上是关于变量的奇函数，则（，http:/。）情形三：（若区域关于轴和轴均对称，即
3、（则（当（，），（），即（又是关于变量的偶函数，则（，）（），）在区域上既是关于变量的偶函数，（）收稿日期：，作者简介：李娟（女，天津市人，天津市河东区职工大学讲师，大学本科，理学学士。）情形四：若区域关于原点对称，即（则（当（函数（，），）（），（，）则）是关于变量，的奇函数，（上述中均为区域在第一象限中的区域部分）做题中，首先画出区域，若区域关于，再观察被积函数在该区域上的奇偶性，正确利用对称，其性质，简化运算过程，准确得出结果例计算二重积分（，其中为抛物线及直线所围成的闭区域），（例图）（例图）解：作出，容易看出关于轴对称的，而是上的奇函数（）故是的偶函数例计算二重积分（其中是由圆：）围
4、成的闭区域，解：作出，容易看出关于轴对称的，而是上的奇函数故）令（）（例计算二重积分其中是由圆：围成的闭区域，（），作出（与例图一样）容易看出关于轴对称的解：被积函数（而（，）（），）即（，）在区域上是关于变量的奇函数故由对称性得：例计算二重积分其中是由圆：，围成的闭区域（例图）（例图）解：作出，容易看出区域关于轴对称的被积函数（，）而（即（，）在区域上是关于变量的奇函数故由对称性得：围成的闭区域（例计算二重积分其中是由圆：），作出，容易看出关于轴对称，也关于轴对称的解：被积函数（，）（，）而（）（）即（又是关于变量的偶函数，）在区域上既是关于变量，（）例计算二重积分其中是由：，围成的闭区域，
5、（例图）解：作出，容易看出区域关于原点对称的（下转第页）于交代的往事较多，处理不好，容易造成人物拖沓，行动进展缓慢，甚至造成情节的停滞。要克服这些弊病，就需要剧作家有相当娴熟的剧作技巧。而索福克勒斯在这些技巧的运用上是成功的。参考文献：（）涂鸿俄狄浦斯王追溯式结构解析文学语言学研究，（）曹晓明俄狄浦斯王的“三元结构”解析中北大学学报，（，）：“”“”；：檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴（上接第页）被积函数（，）（而（，）（）即（，）在区域上是关于，变量的奇函数故由对称性得：要想正确利用对称区域简化运算，既要考虑区域是否关于，又要考虑被积函数在该区域上的对称，奇偶性，正确利用其性质，简化运算，正确迅速得出结果。参考文献：同济大学数学教研室高等数学北京：高等教育出版社，同济大学应用数学系微积分北京：高等教育出版社，华东师范大学数学分析北京：北京人民教育出版社，（，），：，；：百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆 14