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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)18(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60.已知PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD再由POACO知，BD面APC，因此BDPC19(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列an满足a12，a2a48，且对任意nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos xaa2sin x满足.(1
2、)求数列an的通项公式；(2)若bn2，求数列bn的前n项和Sn.20(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值21(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆C：(ab0)的焦距为4，且过点P(，)(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y00)为椭圆C上一点过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线Q
3、G是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)18(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD再由POACO知，BD面APC，因此BDPC(2)解：因为E是PA的中点，所以VPBCEVCPEBVCPABVBAPC由PBPDABAD2知，ABDPBD因为BAD60，所以POAO，AC，BO1.又PA，PO2AO2PA2，即POAC，故SAPCPOAC3.由(1)知，BO面APC，因此VPBCEVBAPCBOSAPC.19解：(1)由题设可得，f(x)anan1an2
4、an1sin xan2cos x对任意nN*，anan1an2an10，即an1anan2an1，故an为等差数列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21(n1)n1.(2)由bn222n2知，Snb1b2bn2n2n23n1.20解：(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，故f(x)0的解集为x|x1xx2，因此区间I，区间长度为.(2)设d(a)，则d(a)，令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka1时，d(a)0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减因此当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得而，故d(1k)
5、d(1k)因此当a1k时，d(a)在区间1k,1k上取得最小值.21解：(1)因为焦距为4，所以a2b24.又因为椭圆C过点P(，)，所以，故a28，b24，从而椭圆C的方程为.(2)由题意，E点坐标为(x0,0)设D(xD,0)，则(x0，)，(xD，)再由ADAE知，0，即xDx080.由于x0y00，故xD.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG.又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x022y028.从而kQG.故直线QG的方程为.将代入椭圆C方程，得(x022y02)x216x0x6416y020.再将代入，化简得x22x0xx020.解得xx0，yy0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点2013 安徽文科数学 第3页