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1、三、解答题87.【2014全国卷（理21）】(本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.【解析】 5分 8分 12分88.【2014全国卷（文21）】设函数，曲线处的切线斜率为0()求b；()若存有使得，求a的取值范围。【解析】，由题设知，解得. 4分（II）的定义域为，由（1）知，（）若，则，故当时，在单调递增，所以，存有，使得的充要条件为，即，解得.（ii）若，则，故当时，；当时，在单调递减，在单调递增.所以，存有，使得的充要条件为，而，所以不合题意.（iii）若，则.综上，a的取值范围是. 12分89.【2014全国卷（理21）】已知函数=（）讨论的单调
2、性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）【解析】（1）（2）（）由（）知，. 当b=2时，0；0.6928； 当时， =0， 0.6934 所以的近似值为0.693.90.【2014全国卷（文21）】已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.（1） 求；（2） 证明：当时，曲线与直线只有一个交点.【解析】（I）=，.曲线在点（0,2）处的切线方程为。由题设得，所以a=1. （）由（I）知， 设由题设知. 当0时，单调递增，所以=0在有唯一实根。当时，令，则。 ，在单调递减，在单调递增，所以 所以在没有实根.综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一
3、个交点。91.【2014全国大纲卷（理22）】（本小题满分12分）函数.（1）讨论的单调性；（2）设，证明：.【解析】（I）的定义域为（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数（II）由（I）知，当时，在是增函数当时，即又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，即下面用数学归纳法证明（i）当时，由已知，故结论成立；（ii）假设当时结论成立，即当时，即当时有，结论成立根据（i）、（ii）知对任何结论都成立92.【2014全国大纲卷（文21）】函数f(x)=ax3
4、+3x2+3x(a0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.【解析】（1），的判别式=36（1-a）.（i）若a1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.（ii）由于a0，故当a1时，有两个根：，若0a0，x0时, ，所以当a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.若a0时，所以当时， 因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.104.【2014福建卷（文20）】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.（）求的值及函数的极值；（）证明：当时，（）证明：对任意给定的正数c，总存在，使得当时，
5、恒有【解析】解法一：（1）由，得.又，得.所以，.令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，有极小值，且极小值为，无极大值.（2）令，则.由（1）得，即.所以在R上单调递增，又，所以当时，即.（3）对任意给定的正数c，取，由（2）知，当时，.所以当时，即.因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.解法二：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）令，要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只需，即成立.若，则，易知当时，成立.即对任意，取，当时，恒有.若，令，则，所以当时，在内单调递增.取，易知，所以.因此对任意，取，当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.解法三：（
6、1）同解法一.（2）同解法一.（3）若，取，由（2）的证明过程知，所以当时，有，即.若，令，则，令得.当时，单调递增.取，易知，又在内单调递增，所以当时，恒有，即.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.注：对c的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。105.【2014辽宁卷（理21）】已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.（）当时，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.（）考虑函数，令，则时，记，则 ，由（）得，当时，当时，.在上是增函数，又，从而当时，所以在上无零点.在上是减函数，由，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使
7、.因为当时，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.因，所以106.【2014辽宁卷（文8）】已知函数，.证明：（）存在唯一，使；（）存在唯一，使，且对（1）中的x0，有.（）当时，所以在上为增函数又所以存在唯一，使（）当时，化简得令记则由（）得，当时，；当时，从而在上为增函数，由知，当时，所以在上无零点在上为减函数，由及知存在唯一，使得于是存在唯一，使得设因此存在唯一的，使得由于，所以107【2014陕西卷（理21）】设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.【解析】，（1），即，当且仅当时取等号当时，当时，即数列是以
8、为首项，以1为公差的等差数列，当时，（2）在范围内恒成立，等价于成立令，即恒成立，令，即，得当即时，在上单调递增，所以当时，在上恒成立；当即时，在上单调递增，在上单调递减，所以设，因为，所以，即，所以函数在上单调递减所以，即，所以不恒成立综上所述，实数的取值范围为；（3）由题设知：，比较结果为：证明如下：上述不等式等价于在（2）中取，可得令，则，即故有上述各式相加可得：结论得证.108.【2014陕西（文21）】设函数.（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由题设，当时，易得函数的定义域为当时，此时在上单调递减；
9、当时，此时在上单调递增；当时，取得极小值的极小值为2(2)函数令，得设当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递减；所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，的最大值为又，结合y=的图像（如图），可知 当时，函数无零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；时，函数有且只有一个零点；综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.（2） 对任意恒成立，等价于恒成立设，在上单调递减在恒成立恒成立（对，仅在时成立），的取值范围是109.【2014湖南卷（理22）】已知常数（1）讨论在区间上的单调性；（2）若存在两个极值点且求的取值范围
10、【解析】（I）=当1时，此时在区间上单调递增。当0a1时，由得（舍去）当时，；当时，故在区间上单调递增，在区间上单调递增。综上所述当时，在区间（0，）上单调递增；当01时，在区间（0，）上单调递减，在区间（，）上单调递增（II）由（）式知。当，此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有01。又的极值点只可能是和，且由的定义可知，且2，所以。2，解得。此时，由（）式易知，分别是的极小值点和极大值点，而=（）-+（1+）- =- =+令2-1=x,由01且知当0时,-1x0; 当1时。0x1记（x）=ln+-2(i) 当-1x0时，（x）=2ln(-x)+ -2，所以（x）=-=0因此，（x）
11、在区间（-1,0）上单调递减，从而（x）（-1）=-40，故当0时，；（ii）当0x1时，（x）=2lnx+-2,所以，因此（x）在区间（0,1）上单调递减，从而（x）（1）=0.故当1时，综上所述。满足条件的a的取值范围为（，1）110【2014湖南卷（文21）】已知函数.（1） 求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有（I）数求导可得,令可得,当时,.此时;当时,此时,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(II)由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,当时,;当时
12、,;当时,综上所述,对一切的,.111【2014江西卷（理18）】已知函数.（1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围.【解析】（1）当时，由得或当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）因为当时, 依题意当时，有，从而所以b的取值范围为112.【2014江西卷（文18）】已知函数，其中. （1）当时，求的单调递增区间; （2）若在区间上的最小值为8，求的值.当时，由，得或，由得或，故函数f（x）的单调递增区间为和（2）因为，a0，由 得或，当时，单调递增，时，单调递减，当时，单调递增，易知=（2x+a）2，且当时，即-2a0时，在上
13、的最小值为，由=4+4a+a2=8，得a=均不符合题意当时，即，在上的最小值为不符合题意当时，即，在上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而由得或(舍去)，当时，在上单调递减，在上的最小值为符合题意。综上有，a=-10113.【2014湖北卷（理22，文8（）、（）】为圆周率，为自然对数的底数. （）求函数的单调区间；（）求，这6个数中的最大数与最小数. （）将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。（I）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；故函数的单调增区间为，单调减区间为.（II）因为，所以，即，于是根据函数、在定义域上单调递增，所以，故这6
14、个数的最大数在与之中，最小数在与之中，由及（I）的结论得，即，由得，所以，由得，所以，综上，6个数中的最大数为，最小数为.（III）由（II）知，又由（II）知，故只需比较与和与的大小，由（I）知，当时，即，在上式中，令，又，则，即得由得，即，亦即，所以，又由得，即，所以，综上所述，即6个数从小到大的顺序为，.114.【2014四川卷（理21）】已知函数，其中，为自然对数的底数。（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围解：（1）因为 所以 又因为， 所以：若，则，所以函数在区间上单增，若，则，于是当时，当时，所以函数在区间上单减，在区间上单增，
15、若，则，所以函数在区间上单减，综上：在区间上的最小值为（2）由，又若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。若，则令（）则。由所以在区间上单增，在区间上单减即恒成立于是，函数在区间内至少有三个单调区间又 所以综上，的取值范围为115.【2014四川卷（文21）】已知函数，其中，为自然对数的底数。（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有零点，证明：。【解析】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识
16、，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.（）当时，所以.当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以.（）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点. 由（）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有.解得.所以，函数在区间内有零点时，.
17、116.【2014重庆卷（理20）】已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（1）确定的值；（2）若，判断的单调性；（3）若有极值，求的取值范围.【解析】（）对求导得，由为偶函数，知，即，因，所以又，故.（）当时，那么故在上为增函数.（）由（）知，而，当时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当时，对任意，此时无极值；当时，对任意，此时无极值；当时，令，注意到方程有两根，即有两个根或.当时，；又当时，从而在处取得极小值.综上，若有极值，则的取值范围为.117.【2014重庆卷（文19）】已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于 （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值。【解析】（
18、）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；（）由（）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.118.【2014广东卷（理21）】设函数，其中。（1）求函数的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数在D上的单调性；（3）若，求D上满足条件的的集合（用区间表示）。【解析】解：（）可知，或，或，或，或或，所以函数的定义域D为；（），由得，即，或，结合定义域知或，所以函数的单调递增区间为，同理递减区间为，；（）由得，或或或，结合函数的单调性知的解集为119【2014广东卷（文21）】已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）当时,试讨论是否存在,使得.