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1、余弦定理证明(精选多篇) 余弦定理证明 在任意abc中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac=ad+dc b=(sinb*c)+(a-cosb*c) b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosb b=(sinb+cosb)*c-2ac*cosb+a b=c+a-2ac*cosb 所以，cosb=(c+a-b)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b
2、点坐标是(ccosa，csina).cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)asinc=csina-acosc=ccosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccos
3、a+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c+(a/2)-ac*cosb) =(1/2)(4c+a-4ac*cosb) 由b=a+c-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式： ma=(1/2)
4、 =(1/2)(2b+2c-a) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c+(a/2)-ac*cosb) =(1/2)(4c+a-4ac*cosb) 由b=a+c-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b+2c-a) 证毕。第三篇：余弦定理证明过程 余弦定理证明过程 ma=(c+(a/2)-ac*cosb) =(1/2)(4c+a-4ac*cosb) 由b=a+c-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b+2c-a) 证毕。 2 在任意abc
5、中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac=ad+dc b=(sinb*c)+(a-cosb*c) b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosb b=(sinb+cosb)*c-2ac*cosb+a b=c+a-2ac*cosb 所以，cosb=(c+a-b)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).cb=(ccos
6、a-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)asinc=csina-acosc=ccosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2
7、bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c+(a/2)-ac*cosb) =(1/2)(4c+a-4ac*cosb) 由b=a+c-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述m(更多好范文请关注：WWw.HaOwoRD.coM)a表达式： ma=(1/2)
8、 =(1/2)(2b+2c-a) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c+(a/2)-ac*cosb) =(1/2)(4c+a-4ac*cosb) 由b=a+c-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b+2c-a) 证毕。第四篇：余弦定理的证明方法 余弦定理的证明方法 在abc中，ab=c、bc=a、ca=b 则c=a+b-2ab*cosc a=b+c-2bc*cosa b=a+c-2ac*cosb 下面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此类推。 过a作adbc于d，则bd+cd=a 由勾股定理得： c=(ad
9、)+(bd)，(ad)=b-(cd) 所以c=(ad)-(cd)+b =(a-cd)-(cd)+b =a-2a*cd+(cd)-(cd)+b =a+b-2a*cd 因为cosc=cd/b 所以cd=b*cosc 所以c=a+b-2ab*cosc 在任意abc中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac=ad+dc b=(sinb*c)+(a-cosb*c) b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosb b=(sinb+cosb)*c-2ac*cosb+a b=c+a-2ac*co
10、sb 所以，cosb=(c+a-b)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)asinc=c
11、sina-acosc=ccosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=
12、(1/2)ma=(c+(a/2)-ac*cosb) =(1/2)(4c+a-4ac*cosb) 由b=a+c-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b+2c-a) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c+(a/2)-ac*cosb) =(1/2)(4c+a-4ac*cosb) 由b=a+c-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b+2c-a) 证毕。第五篇：高考考余弦定理证明 从高考考余弦定理证明谈起 叙述并证明勾股定理. 这道大题，在总分
13、为110分的考卷上，理科占6分，文科占9分.理科的评分标准是：叙述勾股定理；证明勾股定理. ）写出余弦定理，并加以证明 对这道题目，人们虽然不感到新鲜，但有一个期待，期待着标准答案中有“新鲜东西”出现.后来一看，非常“失望”，该题对余弦定理的证明，依赖的仍然是勾股定理. ； 2由推导两角和的正弦公式 ，求.1证明两角和的余弦公式已知 解：(1)如图，在执教坐标系xoy内做单位圆o，并作出角、与，使角的始边为ox，交o于点p1，终边交o于p2；角的始边为op2，终边交o于p3；角的始边为op1，终边交o于p4. 则p1(1,0),p2(cos,sin) p3(cos(),sin(),p4(cos
14、(),sin() 由p1p3p2p4及两点间的距离公式，得 sin() 展开并整理得：22cos()22(coscossinsin) cos()coscossinsin.?由易得cos( sin()coscos )sin,sin()cos 2222)cos()sin()sin() sincoscossin?6分 (2)(,),cos sin (，),tan cos,sin cos()coscossinsin ()()( ) 1证明两角和的余弦公式 2由推导两角和的正弦公式 ，且，求cosc. ； . 已知abc的面积 解：(1)如图，在执教坐标系xoy内做单位圆o，并作出角、与，使角的始边为o
15、x， 交o于点p1，终边交o于p2；角的始边为op2，终边交o于p3；角的始边为op1，终边交o于p4. 则p1(1,0),p2(cos,sin)p3(cos(),sin(),p4(cos(),sin() 由p1p3p2p4及两点间的距离公式，得 2sin2()22 展开并整理得：22cos()22(coscossinsin) cos()coscossinsin.?4分 由易得cos( sin()coscos )cos()sin()sin() sincoscossin?6分 (2)由题意，设abc的角b、c的对边分别为b、c 则sbcsina bccosa30 a(0, 2 ),cosa3sina 2又sinacosa1，sina,cosa 由题意，cosb,得sinb cos(ab)cosacosbsinasinb 故cosccoscos(ab) ?12分向你推荐相关范文： 余弦定理证明案例分析 正弦定理与余弦定理的证明 余弦定理及其证明 余弦定理的多种证明 余弦定理的三种证明