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1、参考教材： The Science and Engineering of Materials,第2章 晶体学基础,2,目录,晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵,2021/2/20,3,2.2 晶向、晶面及晶带,1、晶向与晶向指数 2、晶面与晶面指数 3、面间距、晶面夹角和晶带理论 4、间隙,4,一、晶向及晶向指数,1.晶向： 通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数 miller indices)。 过一格点可以有无数晶列。,5,晶列的特点： (1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格
2、点； (2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。,6,2.晶向指数u v w确定步骤： 建立一个右手空间直角坐标系，在待测晶向上确定两个点的坐标。 用终点的坐标减去起点的坐标，得到沿各坐标轴方向上的数值。 将其按比例化为最小的整数。 将此整数放在一个方括号u v w中。若有负号，将负号标在该数字的上方。 如121表示,Coordinates of selected points in the unit cell. The number refers to the distance from the origin
3、 in terms of lattice parameters.,例题：确定图1-18中A，B和C方向的晶向指数,晶向 A 1.两点坐标分别为（1, 0, 0） and（0, 0, 0） 2. （1, 0, 0） - （0, 0, 0） =（ 1, 0, 0） 3. 已为最小的整数，记作 100 晶向B 1.两点坐标分别为（1, 1, 1） and （0, 0, 0） 2. （1, 1, 1） -（0, 0, 0） = （1, 1, 1） 3.已为最小的整数，记作 111 晶向C 1.两点坐标分别为（0, 0, 1） and （1/2, 1, 0） 2. （0, 0, 1） -（1/2, 1,
4、 0） = （-1/2, -1, 1） 3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2，记作,2021/2/20,9,练习1：确定图中AB，BC和AD的晶向指数,A (100) B (001) C (110) D (011/2),O,2021/2/20,10,O,给出晶向指数，如何画出该晶向？ 例：在立方晶格中画出012和123晶向？,2021/2/20,11,123,O,O1,注意： 晶向是一个矢量，有方向的区别； 一个晶向跟它的倍数是相同的； 对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族 。也就是互相不平行而原子排列规律相同
5、的晶向的集合； 在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向，由于晶格的对称性，这6个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成； 同一晶向族中的指数相同，只是排列顺序或符号不同； 立方晶系中的一些重要的晶向族有6种轴向、12种面对角线方向、8种体对角线方向和顶点到面心的方向。,2021/2/20,13,14,3. 阵点间距、线密度和堆垛密度 阵点间距（repeat distance）：沿晶向方向阵点之间的距离。 线密度(liner density):沿一个方向单位长度上相同阵点的数目。 线堆垛密度（线致密度）:某个晶向上的原子所占的长度的比例。,
6、Determining the repeat distance, linear density, and packing fraction for 110 direction in FCC copper.,15,例：已知Cu是FCC晶胞结构，晶格常数a = 0.36451 nm，计算晶胞中110晶向的阵点距离、线密度和线致密度？ 对于FCC晶胞中110晶向，起点设在0,0,0位置，下一个阵点在面心，即1/2,1/2,0的位置。因此，阵点间的距离是面对角线的一半，等于 。铜的晶格常数为0.36151nm，可以算出阵点间距为0.2556nm。 铜的面心立方晶胞110晶向有2个重复距离，为 线密度
7、3.91阵点/nm 因此，线密度也可以看成是阵点间距的倒数。 线致密度线密度2r 。 线致密度线密度2r 3.9120.127811 说明原子沿110晶向相互接触(面心立方晶胞的最密排方向)。,16,二、晶面及晶面指数,1.晶面 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。 (1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。,17,2.晶面指数（hkl）确定步骤： 以晶胞的某一阵点为原点，以过原点的晶轴为坐标轴，以点阵
8、常数a，b，c为三个坐标轴的长度单位，建立一个空间直角坐标系。但原点应位于待定晶面之外，以避免出现零截距。 找出待定晶面在三轴的截距，如果该晶面与某轴平行，则截距为无穷大。 求出晶面在三个坐标轴上的截距x，y，z，对所求截距取倒数得1/x，1/y，1/z； 将它们按比例化成三个最小的整数h，k，l； 再将它们放在一个圆括号中即得该晶面的晶面指数（hkl）。如果有存在负号，将负号标在该数字的上方。,确定图中A，B和C晶面的晶面指数,Figure Crystallographic planes and intercepts,Plane A 1. x = 1, y = 1, z = 1 2.1/x
9、= 1, 1/y = 1,1 /z = 1 3.已为最小的整数，记为 (111) Plane B 1.晶面和z轴平行，所以x = 1, y = 2, and z = 2.1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0 3. 化为最小的整数：1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0，记作 (210) Plane C 1.因为晶面经过了原点，所以要把原点沿y轴方向移动一个晶格常数的距离，所以， x = , y = -1, and z = 2.1/x = 0, 1/y = 1, 1/z = 0 3.已为最小的整数，记作,2021/2/20,20,练习,EFB晶面 BFGD晶面 ACD
10、晶面,21,O,例：在下图中画出（012）和（123）晶面,O,22,一个晶面和其负晶面是相同的（这和晶向不同） 晶面指数和该指数的倍数是平行的，但不是等同的（这也和前面讲的晶向不同）。 晶面指数代表的不仅是某一晶面，而是代表一组互相平行的晶面； 在晶体内部凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位相不同的晶面归为同一晶面族，用 h k l表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和； 在一个晶胞中同属于某一晶面族的等效晶面数目，称为多重性因子； 立方晶系中，具有相同指数的晶向和与晶面必定是互相垂直的，即晶向的方向为该相同指数晶面的法线方向。 111 (111),23,对于高对称性的
11、晶体来说，结晶学上等价的面具有相同的指数，这些结晶学上的等价面就构成一个晶面族（planes of a form） ，也就是互相不平行而原子排列规律相同的晶面的集合。 立方晶系中： 12个对角面 (110)， (101)， (011)， (110)，(101)， (011)， (110)， (101)， (011)， (110)， (101)， (011)构成110晶面族； 6个表面 (100) ， (010) ，(001) ，(100) ， (010) ， (001)构成100晶面族； 同一晶面族的各晶面指数数字相同，只是排列顺序和符号不同,立方晶格的几种主要晶面标记,25,写出立方晶系的1
12、23晶面族和晶向族中的全部等价晶面和晶向的具体指数。,26,面密度（plannar density）单位面积上的原子数； 面致密度为晶面上原子实际覆盖的面积分数。 计算简单立方钋Po （010）和 （020）晶面的面密度和面致密度，钋的晶格常数为0.334nm。,27,两个晶面见图1-21，在（010）晶面，原子中心位于立方面的角上，实际上，每个原子的只有1/4在晶胞的这个面上。因此，每个面上总的原子数是1个。 （020）晶面上没有任何原子，因此它的面密度和面致密度均为0。可以看出，（010）和（020）晶面不是等同的。,28,例：在立方晶胞中画出（a） 晶向和(b) 晶面。,晶胞中画出（a）
13、晶向和(b)晶面,29,要把晶向画在晶胞内，需要把原点移动到0,+1,0，起点设在原点上，则终点的坐标为： 要画出 晶面，首先需要确定它的截距: 由于x轴上的截距为负值，要把晶面画在晶胞内，需要把原点移动到1,0,0。,30,六方晶系指数： 六方晶系的晶向和晶面通常采用密勒-布拉菲(Miller-Bravais)指数表示。晶面指数的标定方法与三轴坐标系相同，但需用(hkil) 四个数来表示。位于同一平面上的 三个坐标数中必定有一个是不独立的，可以证明它们之间存在下列关系：i= - (h+k) 在四轴坐标系中晶向指数的确定方法也和三轴坐标系相同、但需要用uvtw 四个数来表示。并且u、v、t中也
14、只能有两个是独立的，它们之间存在下列关系：t=-(u+v),六方晶系密勒-布拉菲指数 （a）四坐标法确定晶面指数 (b) 三坐标法和四坐标法确定晶面指数.,31,晶向指数的标定步骤如下： 从原点出发，沿着平行于四个晶轴的方向依次移动，使之最后达到待定晶向上的某一结点； 移动时必须选择适当的路线，使沿a3 轴移动的距离等于沿a1、a2两轴移动的距离之和的负值； 将各方向移动距离化为最小整数值，加上方括号，即为此晶向的晶向指数。 先用三轴坐标系标出待定晶向的晶向指数 ，然后再按下式换算成四轴坐标系的晶向指数uvtw 。 u=（2U-V）/3, v=(2V-U)/3, t=-(U+V)/3,w=W,
15、32,确定图中A，B晶面的晶面指数和C,D晶向的晶向指数 晶面 A 1. a1 = a2 = a3 = , c = 1 2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 1 3. 已为最小的整数，记为 (0001) 晶面 B 1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c = 1 2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1 3.已为最小的整数，记为 晶向 C 两点坐标分别为(0, 0, 1) and (1, 0, 0). 2. (0, 0, 1) (1, 0, 0) = 1, 0, 1 3.已为最小的整数，记为 晶向 D
16、1.两点坐标分别为(0, 1, 0) and (1, 0, 0). 2. (0, 1, 0) -(1, 0, 0) = -1, 1, 0 3.已为最小的整数，记为,33,密排面、密排方向和堆垛方式 在钢球模型的基础上，晶体可以看成是由某些晶面（或层）在空间按一定次序一个挨一个堆垛而成。该次序就称为堆垛方式或堆垛次序(stacking aequence)。 HCP晶体按密排面（0001）的堆垛次序是ABAB。 FCC晶体按照（111）面的堆垛次序是ABCABC。 FCC和HCP结构的堆垛方式虽不同，但都是最紧密的排列都具有相同的配位数12和致密度0.74。,2021/2/20,34,HCP结构中
17、ABABAB 堆垛次序,2021/2/20,35,FCC结构中的 ABCABCABC堆垛次序,36,三、面间距、晶面夹角和晶带理论,1.晶面间距： 晶面指数为(hkl)的一组平面点阵中相邻的两平面点阵面间的垂直距离，记作d(hkl),2021/2/20,37,晶面间距的意义： 每一种晶体物质都有一套特征d(hkl)，是晶体物相分析的重要依据。 晶面指数确定，晶面的位向和晶面间距确定。晶面的位向用晶面法线的位相表示。空间任一直线的位向可用它的余弦表示。 对于立方晶系而言，晶面位向可从以下关系求得： h:k:l = cos:cos :cos cos2 + cos2 + cos2 = 1,h、k、l
18、的数值越小，晶面间距离越大，实际晶体外形中这个晶面出现的机会也越大。（晶体的x射线衍射中容易出现，衍射峰强） 晶面间距越大，该晶面上原子排布越密集；,2021/2/20,38,前述每一种晶体物质，都具有无数多组面网间距不同的面网，但在实际测试中，我们只能测得有限的一部分，即介于最大和最小面网间距之间的面网间距。 a）最大面网间距：不能超出晶胞的大小和尺寸； b) 最小面网间距：等于我们所使用的光源的单色光波长的一半，具体原因后面章节要讲述。 例如钻石（diamond） 等轴晶系，a3.5667 nm。用Cu K射线测量时，我们能测得的面网间距只有： d100=2.060; d220=1.261
19、; d311=1.0754; d400=0.8916; d331=0.8182,2021/2/20,39,不同晶系的独立面网间距数量不同 对称越高的晶体，所具有的独立面网间距数量越少；对称越低的晶体，则独立面网间距数量越多。 原因如下： 如等轴晶系：d010=d001=d100=a; 而斜方晶系：d010=b; d001=c; d100=a,2021/2/20,40,面网间距与晶胞参数之间有一定的对应关系。当 90时，d010b； d020b/2； d030b/3。下面根据晶系的不同分别列出其面网间距的计算公式。 对于立方晶系： 正交晶系： 三方和六方晶系：,41,对于立方晶系中的BCC和FC
20、C结构 BCC：h+k+l等于偶数时，n =1; h+k+l等于奇数时，n=1/2 FCC：h,k,l全为奇数或偶数时，n =1， h,k,l奇偶均有时，n=1/2 （0视为偶数）。 例如，对BCC结构: 面间距越大，晶面上原子的排列就越密集，晶面间距最大的晶面通常是原子最密排的晶面。 通常是低指数的晶面间距较大。对BCC和FCC结构，总的趋势相同，但是受 值的影响而不很规律。,2021/2/20,42,2. 晶面夹角： 立方晶系中，晶面（h k l）法线和晶向(u vw)之间的夹角 立方晶系中，晶面和晶向垂直，则晶面和晶向的指数相同。即 如果u v w/(h k l) ，则,43,两个晶面（
21、h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）之间的夹角（即两晶面法线之间的夹角） 因此，立方晶系中，两晶面垂直的充要条件为 两个晶向(u1 v1 w1)和(u2 v2 w2)之间的夹角 立方晶系中，两晶向垂直的充要条件为,2021/2/20,44,3. 晶带、晶带轴和晶带定理： 在晶体中，可将平行于同一晶向uvw的所有晶面（hkl）称为一个晶带。或者说，相交于同一晶向的两个或多个晶面就构成一个晶带。此晶向称为晶带轴，其指数称为晶带指数； 组成晶带的各晶面称为共带面； 晶带定律：同一晶带中所有的晶面（h k l） 与晶带轴uvw 关系，满足hu + kv + lw = 0 (电子衍射花样分析中特别重要),45,物理意义： 已知两个任意两个不平行的晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）都属于属于同一晶带，可求出其晶带指数（即两晶面交线的指数）uvw； 已知任意两个不平行的晶向u1 v1 w1和u2 v2 w2，都平行于某一晶面（h k l），可求出其共属晶面的晶面指数（hkl）,46,计算晶面(311)与(132)的晶带轴指数. 判别下列哪些晶面属于111晶带；(110),(231),(123),(211),(212),(101),(133),(112),(132).,