《五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数全国版(含答案).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数全国版(含答案).docx（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题有关两个自然数 . 它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。定理 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数， 所得的商互质 . 即如果（ a，b）=d，那么（ ad，bd） 1。证明：设 ad=a1 ，bd=b1，那么 aa1d，b=b1 d。假设（ a1，b1） 1，可设（ a1， b1 ） m（m1），于是有 a1 =a2m，b1 b2m.（a2，b2 是整数）所以 a=a1da2md， b b1db2md。那么 md是 a、b 的公约数。又 m1， mdd。这就与 d 是 a、 b 的最大公约数相矛盾
2、 . 因此，（ a1， b1 ） 1 的假设是不正确的 . 所以只能是（ a1， b1） =1，也就是（ a d， b d） 1。定理 2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积 . （证明略）定理 3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数. （证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。例 1 甲数是 36，甲、乙两数的最大公约数是 4，最小公倍数是 288，求乙数 .解法 1：由甲数乙数 =甲、乙两数的最大公约数两数的最小公倍数，可得36乙数 =4 288，乙数 =428836，解出 乙数 =32。答：乙数是 32。解法 2：因为甲、乙两数的最大公约数为
3、4，则甲数 =4 9，设乙数 =4 b1，且（ b1， 9） =1。第 1页因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则 288 49b1，b 1 28836，解出 b 18。所以，乙数 =48=32。答：乙数是 32。例 2 已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少 . 设这两个数为 a、b，ab。因为这两个数的最大公约数是 21，故设 a=21a1， b 21b1，且（ a1 ，b1） 1。因为这两个数的最小公倍数是126，所以 126=21a1 b1 ，于是 a 1b1=6，因此，这两个数的和为21126=14
4、7，或 4263=105。答：这两个数的和为147 或 105。例 3 已知两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为 a 与 b，ab. 因为这两个自然数的最大公约数是 5，故设 a=5a1，b=5b1，且（ a1 ，b1）=1，a1b1。因为 a b=50， 所以有 5a1 +5b1 =50，a1+b1=10。满足（ a1，b1）=1，a1b1 的解有：答：这两个数为 5 与 45 或 15 与 35。例 4 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为 60，求这两个数。第 2页解：设这两个数为 a 与 b，ab，且设（ a，b） d，a da1
5、，bdb1，其中（ a1，b1） 1。因为两个自然数的积 =两数的最大公约数两数的最小公倍数，所以 240=d 60，解出 d 4，所以 a=4a 1，b=4b1.因为 a 与 b 的最小公倍数为60，所以 4 a1b1 60，于是有 a 1 b1 15。答：这两个数为 4 与 60 或 12 与 20。例 5 已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为 a 与 b，ab，（ a， b） d，ada1， b db1，其中（ a1， b1 ） 1。因为 a+b54，所以 da1+db1=54。于是有 d（ a1 b1 ） 54，
6、因此， d 是 54 的约数。又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114，所以 da1b1-d=114，于是有 d（ a1b1-1 ）=114，因此， d 是 114 的约数。故 d 为 54 与 114 的公约数。由于（ 54，114） 6，6 的约数有： 1、2、3、6，根据定理 3，d 可能取 1、2、3、6 这四个值。如果 d 1，由 d（ a1+b1） 54，有 a1b1=54；又由 d（ a1 b1-1 ） 114，有 a1b1=115。第 3页115=1115=523，但是 1 115=11654，523=28 54，所以 d 1.如果 d 2，由 d（ a1b1） 54
7、，有 a1+b1=27；又由 d（ a1 b1-1 ）=114，有 a1 b1 =58。58 158229，但是 158 5927，2+29 3127，所以 d2。如果 d=3，由 d（a1 b1 ）=54，有 a1+b118；又由 d（a1b1-1 ）=114，有 a1b1 =39。39 139313，但是 1 3940 18，31316 18，所以 d 3。如果 d=6，由 d（ a1 b1 ）=54，有 a1 b1 =9；又由 d（a1b1-1 ）=114，有 a1b1 =20。20 表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=1 2045，虽然 1 20=219，但是有 459，所以取 d
8、6 是合适的，并有 a1=4，b15。a64 24，b6530。答：这两个数为 24 和 30。例 6 已知两个自然数的差为 4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为 a 与 b，且 ab，ada1，b=db1，（ a1，b1） 1。因为 a-b=4，所以 da1-db 1=4，于是有 d（ a1-b 1）=4，因此 d 为 4 的约数。因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为 252，所以 d da1b1 252，于是有 d2 a1 b1 =（ 2 3） 2 7，因此 d 为 23 的约数。故 d 为 4 与 2 3 的公约数。由于（ 4，
9、 2 3） 2，2 的约数有 1 和 2 两个，所以 d 可能取 1、2这两个值。如果 d=1，由 d（a1-b 1）=4，有 a1 -b 1=4；又由 d2 a1b1=252，有 a1b1=252。252 表示成两个互质数的乘积有4 种形式： 252=1252=463=736 9 28，但是 252-1 2514，63-4 594，36-7=294，28-9 19 4，所以 d1。第 4页如果 d=2，由 d（a1-b 1）=4，有 a1 -b 1=2；又由 d2 a1b1 252，有 a1b1=63。63 表示为两个互质数的乘积有两种形式：63163=79，但 63-1 622，而 9-7
10、 2，且（ 9， 7） =1，所以 d=2，并且 a1 9， b1 7。因此 a=2918， b 2 7 14。答：这两个数为 18 和 14。在例 2例 5 的解答中之所以可以在假设中排除 a=b 这种情形（在各例中都只假设了 a b），分别是由于：例 2 和例 5，若 ab，则（ a，b） a ，b a，与条件（ a，b）a ，b 矛盾；例 3，若 a=b，则 ab=（a，b）=5，因此 a b 1050，与条件矛盾；例 4，ab=240 不是平方数。从例题的解答中可以看出， 在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中， 经常用到的基本关系是： 若两数为 a、b，那么 a=a1d
11、，bb1d，其中 d=（ a， b），（ a1，b1） 1，因此 a ，b da1b1，有时为了确定起见，可设 ab. 对于很多情形，可以排除 a=b 的情形（如上述所示），而只假设 a b.第 5页习题四1. 已知某数与 24 的最大公约数为 4，最小公倍数为 168，求此数。2. 已知两个自然数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120，求这两个数。3. 已知两个自然数的和为 165，它们的最大公约数为 15，求这两个数。4. 已知两个自然数的差为 48，它们的最小公倍数为 60，求这两个数。5. 已知两个自然数的差为 30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 450，求这两个自然数。6. 已知两个自然数的平方和为 900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为 432，求这两个自然数 .第 6页