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1、2008信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编第一章 绪论姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1. 若误差限为0.5105，那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2. ，具有4，5位有效数字的近似值分别是多少？（有效数字的计算）3. 已知是经过四舍五入后得到的近似值，问有几位有效数字？（有效数字的计算）4. 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）5. 设，求的相对误差与的相对误差的关系。设的相对误差为,求
2、的相对误差.（函数误差的计算）6. 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径时允许的相对误差限为多大何？（函数误差的计算）7. 设求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）第二章 插值法姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1. 求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：， （插值多项式的构造）2. 已知：，求的Lagrange插值多项式。（拉格朗日插值）3. 已知y=，=4，=9，用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值）
3、4. 若为互异节点，且有5. 证明 （拉格朗日插值基函数的性质）6. 已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）7. 用余弦函数在三个节点处的值写出二次Lagrange插值多项式函数, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值）8. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f0,1,3,4,6和二阶均差f4，1，3。（均差的计算）9. 设：求之值，.这里互异
4、。（均差的计算）10. 依据如下函数值表012419233建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）11. 作一个三次多项式使满足（埃尔米特插值）。12. 设(1)试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H（x）以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。13. 证明若，f(a)=f(b)=0,则：（插值余项的应用）14. 给出函数表： xi0 12F(xi)121F(xi)-115. 且已知F(x)在0，2上4阶连续可导，求F(x)的3次Hermite插值多项式。（埃尔米特插值）。16. 设，求 使 ；又设 ，则估计余项 的大小 。（插值
5、余项的计算）第三章 函数逼近姓名 学号 班级 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1. 设，求于上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）2. 令，且设，求使得为于 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）3. 定义内积试在中寻求对于的最佳平方逼近多项式. （最佳平方逼近）4. 证明：切比雪夫多项式在区间上带权正交。（正交多项式的证明）5. 求矛盾方程组：的最小二乘解。（最小二乘法）6. 已知一组试验数据 22.5 3 455.5 44.5 6 88.59试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）7. 用最小二乘原理求一个形如的经验公式,使
6、与下列数据相拟合.19 25 31 38 44 19 32.3 49 73.3 97.8 （最小二乘二次逼近）第四章 数值积分姓名 学号 班级 习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，Simpson公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。1. 求积公式，试确定系数及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）2. 已知高斯求积公式 将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值。（高斯公式）3. 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？（代数精
7、度的应用和计算，高斯点的特征）4. 数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）5. 给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能高。（代数精度的应用和计算）6. 如果，证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。（梯形求积）7. 用的复化梯形公式计算积分，并估计误差。（复化梯形求积）8. 设，则用复化Simpson公式计算，若有常数使 ，则估计复化Simpson公式的整体截断误差限。（复化Simpson公式）9. 验证当时，的牛顿-科茨公式是准确的。（牛顿-科茨公式）10. 1）设是0,1区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式
8、系，求 2）构造如下的Gauss型求积公式（高斯求积）第五章 常微分方程数值解姓名 学号 班级 习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1. 对于初值问题，证明当时，欧拉法绝对稳定。（欧拉法稳定性的讨论）2. 证明：隐式的梯形公式无条件稳定。（稳定性讨论）3. 用龙格库塔方法对方程取在区间上计算。（龙格库塔方法的应用）4. 用四阶龙格库塔法求解初值问题取h=0.2, 求x=0.2, 0.4时的数值解. 要求写出由h,xk,yk直接计算yk+1的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格库塔方法的应用）5. 设有常微分方程的初值问题试用Ta
9、ylor展开原理构造形如的方法，使具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（积分余项的计算）6. 已知试求出Adams公式的局部截断误差的首项,并由此公式计算。（Adams公式的应用）7. 用Adams方法对方程取在区间上计算。（Adams公式的应用）第六章 非线性方程求根姓名 学号 班级 习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和稳定性讨论。1 用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05。（二分法）2 说明方程 在区间1，2内有惟一根，并选用适当的迭代法求（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）3 设方程在 内有实根，试写出迭代公式使 。（
10、迭代法构造）4 设有解方程的迭代法(1)证明均有（为方程的根）；(2) 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；(3)此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）5 设证明 由 ，得到的序列收敛于 。 （收敛性证明）6 设有解方程在0,1内的根为，若采用如下迭代公式证明均有为方程的根)；取，要迭代多少次能保证误差？此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）7 方程在附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：（1），对应迭代格式：（2），对应迭代格式：（3），对应迭代格式：判断迭代格式在的收敛性，并估计收敛速度，选一种收敛格式计算出附近的根到4位有效
11、数字，从出发，计算时保留5位有效数字。（收敛速度的计算和比较）8 设 （1） 写出解 的Newton迭代格式；（2） 证明此迭代格式是线性收敛的。 （牛顿迭代的构造）9 试述解非线性方程的Newton迭代法的计算格式，并设计一个计算的Newton迭代法，且不用除法（其中）。（牛顿迭代法）10 用牛顿法求的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）11 设是非线性方程的m重根，证明：用迭代法具有2阶收敛速度。（收敛速度证明）12 设在附近有直到阶的连续导数，且，试证迭代法在附近是阶收敛的。（收敛速度证明）13 设是非线性方程的m重根，证明：用牛顿迭代法求只是线性收
12、敛。（收敛速度证明）14 用弦截法求方程xsinx0.5=0在1.4，1.6之间的一个近似根，满足，计算过程保留4位小数。（弦截法）第七章 线性方程组的直接解法姓名 学号 班级 习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。1. 用高斯消去法解方程组。 （高斯消去法的应用）2. 证明：（1）两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵。（2）下三角矩阵的逆仍为下三角矩阵。（L,U矩阵的性质）3. 用LU分解法求解线性方程组: 。（LU分解法的应用）4. 设，求A的LU分解。（LU分解法的应用）5. 用平方根法求解线性方程组。（平方根法的应用）6. 试用“追赶法”解方程组，其中：，
13、 （追赶法的应用）7. 设，求（条件数的计算）8. 求证：（范数的性质）9. 求证：（范数的性质）10. 对矩阵 求，和。（范数，条件数的计算）11. 方程组，其中，A是对称的且非奇异。设A有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明其中和分别为A的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）12. 证明：如果是严格对角占优矩阵，则为非奇异阵。（严格对角占优矩阵的性质）13. 设是任意阶矩阵，由的各次幂所组成的矩阵序列收敛于零矩阵，即的充分必要条件是 （谱半径的性质）第八章 线性方程组的迭代解法姓名 学号 班级 习题主要考察点：Jacobi,Gauss-Seidel迭代法解线性方
14、程组，及其收敛性讨论。1. 用Jacobi,Gauss-Seidel迭代法解下列方程组是否收敛?为什么?若将方程组变为再用上述两种迭代法求解是否收敛?为什么?（Jacobi,Gauss-Seidel迭代法的计算和比较）2. 证明：迭代格式收敛，其中。（迭代法收敛性判断）3. 证明解线性方程组AX=b的Jacobi迭代收敛，其中 A=。（Jacobi迭代收敛判断）4. 已知方程组，其中(1)试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。(2) 若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。（Jacobi,Gauss-Seidel
15、迭代法的计算和比较）5. 给出矩阵，（为实数）.试分别求出的取值范围：1） 使得用Jacobi迭代法解方程组时收敛；2） 使得用Gauss-Seidel迭代法解方程组时收敛。（Jacobi,Gauss-Seidel迭代法的计算和比较）6. 设求1） 设是由 Jacobi 迭代求解方程组Ax=b所产生的迭代向量，写出的精确表达式。2） 设是Ax=b的精确解，写出误差的精确表达式。3） 如构造如下的迭代公式解方程组Ax=b，试 确定的范围，使迭代收敛。（Jacobi迭代及其收敛判断）7. 设给定线性方程组：（1）讨论Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性。（2）对收敛的方法，取初值，迭代两次，求出。（Jacobi,Gauss-Seidel迭代法的计算和比较）8. 设有系数矩阵 取什么值时，Gauss-Seidel迭代法收敛？时又怎样？并比较谱半径。（Gauss-Seidel迭代法的收敛性）9. 若用Jacobi迭代法求解方程组迭代收敛的充要条件是。（Jacobi迭代法的收敛性）10. 证明对称矩阵当为正定矩阵，且只有当时，用Jacobi迭代法求解方程组Ax=b才收敛。（特殊迭代矩阵Jacobi迭代法的收敛性）13