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1、1.3.2 函数的奇偶性,忻城高中莫丽娟,宝马,奔驰,东风,雪铁龙,丰田,请 你 欣 赏,四川曹家大院一景,曹家多子院大门,二道门,水镜台,请 你 欣 赏,曹家大院某院,晋祠鼓楼,晋祠硕亭,太谷民居门墩石狮子,请 你 欣 赏,x,y,o,x,y,o,观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？,我们得到,这两个函数图象都关于 y轴对称.从函数值对应表可以看到， 当自变量x取一对相反数时,相应的 两个函数值相同.即点(x,f(x)在图象 上,相应的点(-x,f(x)也在函数图象上。 我们能否利用函数解析式来描述函
2、 数图象的特征呢？,y=x2,-x,x,当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1),当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2),对任意x，f(-x)=f(x),偶函数定义： 如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有 f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。,再观察下列函数的图象，它们又有什么样的 特点规律呢？,我们得到,这两个函数图象都关于原点对称, 从函数值对应表可以看到: 当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数 值相反.即点(x,f(x)在图象上,相应的点 (-x,-f(x)也在函数图象上。 我们同样可以利用函数解析式来描述函数图 象的这个特征。,奇函数定义： 如果
3、对于函数定义域内的任意一个x, 都有f(-x）=-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。,思考: 偶函数与奇函数 图象有什么特征呢?,偶函数的 图象关于 Y轴对称.,函数y=x2的图像,偶函数的图像特征,奇函数的图像特征,O,奇函数的图象关于原点对称.,对于奇、偶函数定义的几点说明:,(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶 性的先决条件。,(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。,(1)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们 就是说函数f(x) 具有奇偶性。,例1.根据下列函
4、数图象,判断函数奇偶性.,y,x,y,x,y,x,-1,2,y,x,-1,1,偶,奇,非奇 非偶,奇,例2.判断下列函数的奇偶性:,解:(1)对于函数 ，其定义域为 因为对定义域内的每一个x,都有： 所以函数 为奇函数。,（1）,（2）,先确定定义域,再验证f(x)与f(-x)之间的关系.,(2)对于函数 ,其定义域为 x|x 0,定义域内每个x,都有 故f(x)为偶函数。,(3)f(x)定义域为R,定义域内每个x都有 故f(x)为奇函数.,（5）,（4）,定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要条件。,定义域不关于原点对称，所 以f(x)为非奇非偶函数。,解：（4）由于,（5）,故函数f(
5、x)为既是奇函数也是偶函数。,奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数,根据奇偶性, 函数可划分为四类:,判断函数奇偶性步骤: (1)先确定函数定义域,并判断定义域是 否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论： 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0, 则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0, 则f(x)是奇函数.,思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？,x,y,0,1,2,f(x)=2x+1,-1,分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x) f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 （也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原 点对称也不关于y轴对称。,思考2：完成课本页的练习,小结：,奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， 把任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） 若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； 若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要条件。 性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 判断奇偶性方法：图象法，定义法。,谢谢大家，再见！,