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1、1,力学部分习题（二）,姜桂铖 2015.4.10,2,刚体的定轴转动,一、描述刚体定轴转动的物理量,转动惯量,角位移,角速度,角加速度,角量和线量的关系,角动量,转动动能,3,(1) 转动惯量平行轴定理,(2)刚体定轴转动定理,二、基本定律,(3) 定轴转动刚体的动能定理,(4) 角动量守恒定律 系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时， 系统对此轴的总角动量保持不变,(5) 机械能守恒定律 只有保守力做功时，,4,5,三、题型以及例题,求特殊形状刚体的转动惯量 刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用 刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量守恒的应用,6,作业题：3.7,由质点系的功能原
2、理：,得：,?,7,1. 从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，所形 成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄 板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。,半径为 R 的圆盘对 O 点的转动惯量为,式中整个圆盘的质量,由平行轴定理，半径为 R/2 的小圆盘对 O 点的转动惯量为,式中小圆盘的质量,总转动惯量,8,2. 均匀圆柱体，在水平恒力 作用下做纯滚动，下列说法正确的是,(A)摩擦力一定不为零，,解：设静摩擦力的方向如图示,(B)摩擦力一定与 同向，,(C)摩擦力一定与 反向，,(D)摩擦力的方向无法确定，,(E)摩擦力的大小一定等
3、于 。,静摩擦力的方向向后（与设定的方向一致）,静摩擦力的方向向前（与设定的方向相反）,9,3. 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度 .,解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,10,式中,得,由角加速度的定义,代入初始条件积分 得,11,4.已知：,匀质杆M,子弹 m,水平速度,求：,从下缘射入不复出,解：,对M,m 系统,系统角动量守恒,撞击后瞬间匀质杆的质心速度,设杆长
4、为,系统动量守恒,O,M,m,c,是否动量一定不守恒？有没有特例？,?,12,5. 由一根长为 l ，质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动。 若以质量为 m ，速率为 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射向棒的 另一端。,碰撞时刻，角动量守恒,（1）若子弹穿棒而过，速度为 ，求棒的旋转角速度,以 m , M 为系统，以 O 为参考点。,（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角,碰撞时刻，角动量守恒,（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角,13,棒旋转过程，机械能守恒,注意：,14,类似的例题,由一根长为 l ，质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动。质量为m、速率为
5、的木块，水平面内碰竖直杆的另一端再返回，木块碰后速度减少一半。求棒的最大旋转角？,1）碰撞时刻，角动量守恒,2）棒旋转过程，机械能守恒,15,解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。,共同角速度,啮合过程机械能损失：,6. 两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合过程机械能损失。,16,7. 两个同样重的小孩 ，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一 个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量 和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮处？若两个小孩重量不等，情况又如何？,解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考
6、点，把两个小孩和滑轮看成系统。规定向里为角动量和力矩的正方向。,系统的总角动量为,v1 ： 左边小孩向上的速度；,v2 ： 右边小孩向上的速度；,此系统所受外力矩只有两个小孩所受重力矩，二者大小相等， 方向相反，彼此抵消，系统角动量守恒。,h,h,m1,m2,R,17,设两个小孩起初都不动,以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零（角动量守恒），即 v1 , v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。,若两个小孩重量不等，,系统所受外力矩,系统总角动量,仍设起初两个小孩都不动，,由角动量定理,若,有,轻的升得快,有,18,8. 一细杆的质量为m，长为l， 一端支以枢轴而能自由旋
7、转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。,L,N,解一：,由刚体的定轴转动定律,19,8. 一细杆的质量为m，长为l， 一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。,N,解二：,由刚体定轴转动的动能定理,考虑杆从水平静止转到铅直位置的过程，角速度从0 - ,20,8. 一细杆的质量为m，长为l， 一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。,N,解三：,因为在转动过程中，N不作功，重力是保守力，所以系统的机械能守恒。,选O点为重力势能零点,21,9. 一个质量为 ，长为 的均匀细杆。一端固定于 水平转轴上，开始
8、使细杆在铅直平面内与铅直方向 成 角，并以角速度 沿顺时针转动。当细杆 转到竖直位置时，有一质量 的细小油灰团以速 度 水平迎面飞来，并与细杆上端发生完全非弹性 碰撞。碰撞后细杆再次转到与铅直方向成 角时 角速度为多大？,22,由 得,解：整个运动过程可分为三个阶段。第一阶段，细杆由初 始位置转到竖直位置时，取细杆和地球为一系统，设 点为重力势能零点。由于转轴的支持力不做功， 所以系统的机械能守恒。则有,23,第二阶段，细杆在铅直位置与油灰团发生完全非弹性碰撞。取细杆与油灰团为一系统，在碰撞过程中所受的合外力矩 为零，所以系统的角动量守恒。设顺时针方向为正方向， 于是有,因为 ，所以碰撞完毕后
9、两物体 沿角速度 的方向转动。,24,第三阶段，取细杆、油灰团和地球为一系统，因转轴的支 持力不做功，所以系统的机械能守恒,25,10. 质量为 m，半径为 R 的均匀圆柱体沿倾角为的粗糙斜 面，在离地面为 h0 处从静止开始无滑下滚（纯滚动）。 试求： 1 ) 圆柱体下降到高度为 h 时它的质心速度 vc 和转动角速度； 2）最大静摩擦系数应满足的条件。,解: 对圆柱体进行受力分析,A,h,选A为瞬时转动中心，转动惯量为：,转动定理：,由 A 点瞬时速度为零，对于质心有：,26,根据质心运动定理,解得,要保证无滑滚动，所需摩擦力 f 不能大于最大静摩擦力，即,圆柱体质心的速度为,解得,27,
10、11. 质量为 m 的小球， 以速度 v0 在水平冰面上滑动，撞在与小球运动方向垂直的一根细木棍的一端，并粘附在木棍上。设木棍的质量为 M，长度为 l。试求：（1） 忽略冰的摩擦，定量地描述小球附在木棍上后，系统的运动情况。（2） 刚刚发生碰撞之后，木棍上有一点 p 是瞬时静止的，问该点在何处？,（1）系统质心位置 c 距右端距离,由动量守恒求质心平动速度 vc：,28,（2）瞬时静止的一点 p 在质心的左侧，p 点绕质心转动相应瞬时向下线速度恰好等于质心平动速度 vc, 即,由角动量守恒求系统绕质心转动的角速度：,c,O,M,m,P,29,12. 一质量为M ，长度为 L 的均匀细杆，放在光
11、滑的水平桌面上，可绕通过其中点 O 的光滑固定竖直轴转动，开始时静止。一质量为 m 的（m M）子弹以速度 v0 垂直击中杆的一端，撞击后从杆的一端打下质量也为m 的一段（可视为质点），与子弹结合在一起以 v0/ 8 的速度沿垂直于杆的方向飞出，如图。求(1)撞击后瞬间杆转动的角速度(2)撞击过程中的机械能损失。,解：由角动量守恒,30,（2）损失的机械能,31,13. 有两个质量为m的质点，由长度为a的一根轻质硬杆连结在一起，在自由空间二者质心静止，但杆以角速度绕质心转动。杆上的一个质点与第三个质量也是m但静止的质点发生碰撞，结果粘在一起。 （1）碰撞前一瞬间三个质点的质心在何处？此质心速度
12、多大？ （2）碰撞前一瞬间，这三个质点对它们的质心的总角动量是多少？碰后一瞬间，又是多少？ （3）碰撞后，整个系统绕质心转动的角速度多大？,32,解：,本题应用质心定义和角动量守恒定律,（1）设杆中心为坐标原点x=0，碰前瞬间三质点在同一直线上，其质心为,即离静止质点 处。,因为碰撞前杆两端质点的质心静止，第三个质点也静止，因此它们的质心也静止，即质心速度为0。,（2）对于质心所在点，碰撞前三个质点的总角动量为,33,由于碰撞过程无外力矩作用，角动量守恒，所以碰后角动量,（3）设碰后角速度为,根据角动量守恒，有,解得,34,14. 已知l、m、 M、V0 问当M/m为何值时, M才能仍以V0速度穿出细杆阵列.,l,V0,M,m,Vc,解:系统碰撞前后的动量,角动量，动能守恒.,个人观点供参考，欢迎讨论,