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1、精品数列求和的七种方法 数列求和是知识掌握的重点，网在线网:/为大家带来的数列求和教案数列求和教案（文章一）汉滨高中 李安锋教学目标:1.知识目标：复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。2.能力目标：培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。3.情感目标：培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他
2、们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点：等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点：分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法：(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入1.复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na
3、1?d 等差数列求和公式：Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式：Sn?a1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q2.教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?公式法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导1.若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?an?3n an?3n?2n?1 an?n(n?1) an?1 an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)2. 巩固检测题：(1) a?a2?a3
4、?an?_(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32?n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例1.设Sn=1-3+5-7+9+?+101 求Sn分析: 拆并项求和：思路：? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+?(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)?+(-99+101)=? Sn=(1+5+?+101)-(3+7+?+99) =意图： 通过一题多解,开阔学生的思维.，分析培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析思考应留下。
5、变式(1)让学生做的目的是需讨论n的奇偶性书写格式易出问题。例2. 一个数列an：当n为奇数时, an=5n+1：当n为偶数时,an=这个数列的前2m项的和,(m是正整数).分析：若数列an满足an=5n+1则数列an具备什性质?若数列an满足an=n22n22.求则数列an又具备什性质?如何变通本题的an意图：例2主要是从学生获取知识遵循从特殊到一般,由浅入深,由易到难,循序渐进的原则出发,符合学生的认知水平和接受能力.变式练习：求数列：1,1+2,1+2+3,?,1+2+3+?+n,?的前n项之和求数列：1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,?的通项公式及前n项之和求数列：1,3+4,
6、5+6+7,7+8+9+10,?的通项公式及前n项之和注:(1) 学生可以分组讨论(2) 学生上黑板讲解,并回答同学的提问.(3)让学生归纳本节课的重难点及解题思路意图：例题反馈的训练充分发挥学生的主体地位,营造生动活泼的课堂教学气氛通过学生的评析,激发学生学习热情,发散学生思维,培养学生的合作,探究意识。让学生从具体实例中发现结论。符合学生认识规律,并在结论的发现过程中培养学生的思维能力。(四)课外的巩固与检测计算:12?22?32?42?52?62?xx2?xx2? ;1111.数列:1,3,5,7,的前n项和为 ; 24816(五) 小结拆并项求和：若an?bn?dn,其中bn,dn)均
7、为可求和数列,则可分别求和后再合并;启发、引导学生归纳总结,一方面了解学生对本堂课的接受情况,另一方面培养学生的归纳总结能力。使知识系统化,条理化。(六)课外作业1、数列：1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,?的前n项之和为什么?2、数列an中,前n项之和Sn=1-5+9-13+17-21+?+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31= .3、如果数列an的前n项之和为Sn=3+2n,那么222a12?a2?a3?an4.设设数列an是公差d=4的等差数列,前20项之和为S20=660.()求它的首项a1;22222222 ()设T=(a2?a4?a6?a16)?(a1?
8、a3?a5?a15),求T的值.意图： 为学生的能力层次参差不齐,上完一节课之后未必每个学生都能接受全部的知识内容,因而必须给出适当的时间让他(她)们去理清知识脉络.通过作业题的分层变式训练,达到引起学生积极思维的目的,提高分析问题、解决问题能力来满足不同层次学生需要,符合因材施教原则。从而达到培养学生养成题后思考的习惯和提高数学能力的效果。(七 )教学评价自主性：注重发展学生的个性,分层式练习和选择性作业,充分体现学生的主体地位.实践性：通过学生评析中的变式训练,给学生提供了一个很好的做数学的学习环境和学习机会.可行性: 所教的班级的学生具有较好的数学功底, 具备一定的独立思考、合作探究能力
9、.有效性: 通过学生的练习与评析, 给学生提供了一个发现问题,讨论问题,解决问题的平台,为学生高效获取知识和提高综合素质创造条件.数列求和教案（文章二）教学目标:研究近几年的高考试卷,发现数列与不等式,三角函数,向量等知识的综合应用往往出现在高考中的最后两题,成为学生的丢分题,从而加强数列综合应用的教学显得尤为重要.根据学生的认知水平和数列求和在新课程理念的要求,确定教学目标如下：知识目标：复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;记住一些常见结论
10、便于用公式法对数列求和;学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。能力目标：培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。情感目标：培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界.二 教材重、难点数列求和是一个很重要的内容,前面已学习了等差与等比数列求前n项和的公式,但是不少题目是不能直接套用公式的,有些需要用一些特殊的方法,如课本上介绍的高斯求和法(倒序相加法)、错位相减法等.常用的数列求和法主要有下面几种：1.直接用等差与等比求前n项和的公式法;2.折项或并项求和法;3.奇偶求和法;4.裂项求和法;5.错位相
11、减法;6.猜想归纳法.本节课是高三第一轮复习中数列求和的第一节,从而分析变换通项以及用局部和整体的思想来选择恰当的方法对非特殊的数列求和是本节课的重点与难点.三 教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围.四 学情分析本人执教的学校是省重点中学,所教的班级是高三年级的实验班,学生具有较好的数学功底, 具备一定的独立思考、合作探究能力,因此本节课采用学生主讲、教师点评的授课方式,既能充分发挥学生主观能动性,又能充分
12、暴露学生认知过程中的错误,更重要的是能达到预期的教学目的,获取理想的教学效果.五 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法：(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,数列求和教案（文章三）教学目标知识与技能：1.掌握等差数列、等比数列的求和公式，并会灵活运用公式解决有关数列求和的问题;2.了解数列求和的几种常用方法，如分组求和、裂项求和、错位相减等，并能根据题目的特点选用适当的方法求数列的和。过程与方法：通过本节课学习，培养学生分析、抽象、概括等思维能力;通过把一般数列求和转化为等差、等比数列求和，体会统一转化的数学思想。情感态度与价值观：倡导学生自
13、主学习、自主探索的学习方式，培养学生观察、分析、概括问题的能力及勇于探索，积极进取，刻苦求是的精神。教学重点：等差、等比数列的通项和求和公式;利用相关数列Sn和an的关系求数列的通项公式;数列求和的几种常用方法。教学难点： 裂项技巧及利用相关数列Sn和an的关系求数列的通项公式。 教学内容及教学过程：一、考点分析：1、命题角度：该部分通常围绕两个点进行命题.第一个点是围绕等差、等比数列，涉及求等差数列、等比数列的基本量、通项等问题，然后考查等差数列、等比数列的求和，目的是考查等差数列和等比数列的基础知识和运算求解能力，试题可能是选择题、填空题，也可能是解答题;第二个是围绕裂项求和、错位相减求和
14、展开，试题首先设计数列的基本问题(如数列的通项、数列的基本量等)，然后设计使用裂项方法、错位相减方法求和的问题，目的是考查数列的基础知识和这两种重要求和方法，试题一般是解答题.2、复习建议：从近几年高考考查情况看，在选择题、填空题中主要考查等差数列、等比数列的求和，这可以直接使用公式，在解答题中考查数列求和，主要是裂项相消法和错位相减法及周期性，因此复习时，以这两种求和方法为主，注意掌握裂项的技巧，掌握错位相减的计算程序，提高解题的正确率(这个地方非常容易出错)。二、知识归纳：数列求和的主要方法：(1)公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。(2)分组求和法：将一个数列拆成若干个简单数
15、列(等差、等比、常数列)然后分别求和的方法。(3)裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。常用裂项技巧有： 11111111?(?); =2-; n-1n-1n+1n(n?k)knn?k111111?(?); ?(n?k?n) (2n?1)(2n?1)22n?12n?1n?k?nk(4)错位相减法：若an为等差、bn为等比数列，则求数列anbn的前n项和可用此法。(6)倒序求和法：即仿照推导等差数列前n项和公式的方法特征：an?a1?an?1?a2n?n+1?2n+1?(7)常用公式：12+22+32+n2= 6三、例题、练习：题组一1、在等差数列?
16、an?中，则S11=(B) a3?a9?27?a6，Sn表示数列?an?的前n项和，A、18 B、99 C、198 D、2972、已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2?a3?2a1,且a4与2a7的5等差中项为，则S5?(C) 4A.35 B.33 C.31 D.293、数列?an?的前n项和为Sn，若an?A、1 B、2，则S5等于( B ) n(n?1)511 C、 D、 3315n?4、数列an的通项公式an?ncos，其前n项和为Sn，则Sxx等于( A ) 2A.1006 B.xx C.503 D.05、 已知12?22?32?n2?和为： .1n(n?1)(2n?1)
17、，则数列1?2,2?3,3?4,?,n(n?1)的前n项6n(n?1)(n?2) 3题组二1、 xxxx卷 已知数列an的前n项和Sn=k-k(其中c，k为常数)，且a2=4，a6=8a3.(1)求an;(2)求数列nan的前n项和Tn.解：(1)由Sn=k-k，得an=Sn-Sn-1=k-k-1(n2)，(3分)由a2=4，a6=8a3，得kc(c-1)=4，kc5(c-1)=8kc2(c-1)，.(5分)?c=2，解得?所以a1=S1=2，an=k-k-1=2n(n2)， ?k=2，于是an=2n.(7分)(2) Tn=12+222+323+424+n2n，.(9分)Tn=2Tn-Tn=-
18、2-22-23-24-2n+n2n+1=-2n+1+2+n2n+1=(n-1)2n+1+2。.(12分)2、 已知数列an的各项均是正数，其前n项和为Sn，满足Sn=4-an.(1)求数列an的通项公式;13(2)设bn=(n∈Nx)，数列bnbn+2的前n项和为Tn，求证：Tn<4. 2-log2an解：(1)由题设知S1=4-a1，a1=2，(1分)由题意得Sn+1=4-an+1.两式相减，得Sn+1-Sn=an-an+1(2分)1a所以an+1=an-an+1，2an+1=an，即n?1=2.(3分) an1可见，数列an是首项为2，公比为2?1?n-1?1?n-2所以a
19、n=2?2?=?2?.(5分) ?111(2)证明：bn=n，(7分) 2-log2an2-?2-n?111?1bnbn+2=nn+2， n?n+2?2?Tn=b1b3+b2b4+b3b5+bnbn+2=1?1?11131?11?111?1-1+-?1-3+?24+?35+?nn+2?=?<. 2n+1n+22?2?4.(12分)四、小结1.等差、等比数列的求和方法及前n项和公式是数列求和的基础，要熟练掌握。2.求数列的前n项和一定要抓住数列的通项，分析通项公式的结构与特点，通过对通项进行适当的变形、转换达到求和的目的。3.在利用裂项相消法和错位相减法求和时，注意掌握裂项的技巧，掌握错位
20、相减的计算程序，提高解题的正确率。4.通过把一般数列求和转化为等差、等比数列求和，体会化归思想。五、作业布置1、已知等差数列an满足a3?7,a5?a7?26,an的前n项和为Sn(1)求an及Sn(2)令bn?2、 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n2?n，n∈Nx，数列bn满足an=4log2bn+3，n∈Nx. (1)求an，bn; (2)求数列anbn的前n项和Tn.3、已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n(n∈Nx).(1)求a1，a2，a3的值;(2)求数列an的通项公式;(3)若bn=(2n+1)an+2n+1，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式128的最小n值.1(n?Nx)，求数列bn的前n项和Tn. 2an?1Tn-22n-1