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1、1,主要内容 集合的基本概念 属于、包含 幂集、空集 文氏图等 集合的运算 有穷集的计数 集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法,第二部分 集合论,第六章 集合代数,2,6.1 集合的基本概念,1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合,2. 集合表示法 列元素法-列出集合的所有元素，所有元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来 谓词表示法-用谓词来概括集合中元素的性质 实例： 列元素法 自然数集合 N=0,1,2,3, 谓词表示法 S=
2、x | x R x21=0,3,元素与集合,1. 集合的元素具有的性质 无序性：元素列出的顺序无关 相异性：集合的每个元素只计 数一次 确定性：对任何元素和集合都 能确定这个元素是否 为该集合的元素 任意性：集合的元素也可以是 集合 2元素与集合的关系 隶属关系：或者 3集合的树型层次结构 例如：集合A=a,b,c,d,d,规定：A A,4,集合与集合,集合与集合之间的关系：, , =, , , , 定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作B A。如果B不被A包含，则记作B A。 符号化表示为：B A x
3、( xB xA ) B A x ( xB xA ) 例如N Z Q R C，但Z N。显然对任何集合A都有A A。 定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作AB。 如果A与B不相等，则记作AB。符号化表示为： A = B A B B A 定义6.3 设A，B为集合，如果B A且BA，则称B是A的真子集，记作B A。如果B不是A的真子集，则记作B A。符号化表示为： B A B A B A 例如N Z Q R C，但N N。 注意： 和 是不同层次的问题，如A=a,a和a,5,空集、全集和幂集,定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合 符号化表示为： =x | x x
4、 实例： x | xR x2+1=0 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A， A x (xxA) 1(恒真命题) 推论 是惟一的 证明：假设存在空集1 和 2 ，由定理6.1有： 1 2 和 2 1 根据集合相等的定义，有1 = 2 所以得出结论： 是惟一的 。,6,空集、全集和幂集,含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m（mn）个元素的子集叫做它的m元子集。任给一个n元集，怎样求出它的全部子集呢？,例6.1 A1,2,3，将A的子集分类：解：0元子集，也就是空集，只有一个： ； 1元子集，即单元集：1，2，3； 2元子集：1,2，1,3，2,3； 3元子集：1,2,3。,
5、7,空集、全集和幂集,定义6.5 幂集：设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集，记作P(A)(或PA，2A)。 符号化表示为：P(A)= x | x A 实例：P()=, P()=, 计数：如果 |A|=n，则 |P(A)|=2n.,定义6.6 全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集,8,6.2 集合的运算,初级运算 集合的基本运算有并，交，相对补和对称差 定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集AB，交集AB，B对A的相对补集AB分别定义如下： 并 AB = x | xA xB 交 AB = x | xA xB 相对补 AB = x | xA
6、xB 例如：A=a,b,c，B=a，C=b,d AB= a,b,c, AB =a, AB=b,c , B-A= , B C= 若两个集合的交集为 ，则称这两个集合是不交的,9,6.2 集合的运算,定义6.8 设A，B为集合，A与B的对称差集A B定义为： 对称差 AB = (AB)(BA) 另一种定义是：AB = (AB) (AB) 例如：A=a,b,c，B=b,d,AB =a,c,d 定义6.9 在给定全集E以后，A E，A的绝对补集A定义如下： 绝对补 A = EA = x|xExA = x|x A 例如：Ea，b，c，d，Aa，b，c，则Ad。,10,文氏图,集合运算的表示,A,B,A,
7、B,A,B,A,B,A,E,AB,AB,AB,AB,A,11,几点说明,并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn A B AB = AB = AB = A,12,广义运算,1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并，记为A。符号化表示为 广义并 A = x | z ( zA xz ) 定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广义交，记为A。符号化表示为 广义交 A= x | z ( zA xz ) 例6.2 设A
8、a,b,c,a,c,d,a,e,fBaCa,c,d 则Aa,b,c,d,e,f,Ba，Cac,d Aa，Ba，Cac,d,13,广义运算,1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并，记为A。符号化表示为 广义并 A = x | z ( zA xz ) 定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广义交，记为A。符号化表示为 广义交 A= x | z ( zA xz ) 练习: A= 1, 1,2, 1,2,3, B= a, C=a 解: A=1,2,3, A=1 B=a， B=a C=a， C=a,14,关于广义运算的
9、说明,2. 广义运算的性质 (1) =，无意义 (2) 单元集x的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 A = A1, A2, , An = A1A2An A= A1, A2, , An = A1A2An 3. 引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 x | xR=R 这里的 R 代表实数集合.,15,运算的优先权规定,一 类运算：广义并，广义交，幂集，绝对补运算 运算由右向左顺序进行(右结合) 二 类运算：并 ，交 ，相对补 ，对称差 优先顺序由括号确定 混合运算：一类运算优先于二类运算
10、。,例 A=a,a,b，计算A(AA).,解： A(AA) = a,b(a,ba) = (ab)(ab)a) = (ab)(ba) = b,16,例6.5 设Aa,a,b 计算A，A和A(AA)。 解: Aa,bAaAabAaAabAaA(AA)(ab)(ab)a)(ab)(ba)b所以Aab，Aa，A(AA)b。,17,作业,书本97页 第8题 的 第（4）小题 第9题 的 第（1）、（3）、（5）三个小题 书本98页 第18题 的 第（1）、（3）两个小题,18,有穷集合元素的计数,1. 文氏图法 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的 元素构成
11、子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为,推论 S中至少具有一条性质的元素数为,19,实例,例6.5 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整 除，也不能被8整除的数有多少个？,解 方法一：文氏图 定义以下集合： S= x | xZ 1x1000 A= x | xS x可被5整除 B= x | xS x可被6整除 C= x | xS x可被8整除 画出文氏图，然后填入相应的数字，解得 N=1000(200+100+33+67) =600,20,实例,方法二 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125
12、 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600,21,6.3 集合恒等式,下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。幂等律 AAA AAA 结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC)交换律 ABBA ABBA 分配律 A(BC)(AB)(AC)
13、 A(BC)(AB)(AC) 同一律 AA AEA零律 AEE A 排中律 AAE 矛盾律 AA吸收律 A(AB)A A(AB)A 德摩根律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC E E双重否定律 (A)A,22,除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。 例如：AB A，AB B (6.24)A AB，B AB (6.25)AB A (6.26)ABAB (6.27) ABB A B ABA AB (6.28) A BB A (6.29) (A B) CA (B C) (6.30)A A (6.31)A A (6.32) A BA
14、 C BC (6.33),23,书本88页,例6.5 设Aa,a,b 计算A，A和A(AA)。 解: Aa,bAaAabAaAabAaA(AA)(ab)(ab)a)(ab)(ba)b所以Aab，Aa，A(AA)b。,24,6.4 集合恒等式（P92）,集合算律 1只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律,25,集合算律,2涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律,26,集合算律,3涉及补运算的算律： 德摩根律，双重否定律,27,集合算律,4涉及全集和空集的算律： 补元律、零律、同一律、否定律,28,集合证明题,证明方法：命题演算法、等式置换法 命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表
15、集合公式) (1) 证XY 任取x， xX xY (2) 证X=Y 方法一 分别证明 XY 和 YX 都为真。 方法二 任取x，xX xY 注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充 分必要的（等值）,29,集合等式的证明,方法一：命题演算法 例1 证明A(AB) = A （吸收律） 证 任取x, xA(AB) xAxAB xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) = A.,例2 证明 (6.27)AB = AB 证 任取x, xAB xAxB xAxB xAB 因此得 AB = AB,30,等式置换法,方法二：等式置换法 例3 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸 收律
16、 A(AB) = A. 证 A(AB) = (AE)(AB) （同一律） = A(EB) （分配律） = A(BE) （交换律） = AE （零律） = A （同一律）,31,包含等价条件的证明,例4 证明(6.28) AB AB=B AB=A AB= 证明思路： 确定问题中含有的命题：本题含有命题 , , , 确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论 确定证明顺序：， 按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）,32,证明,证明AB AB=B AB=A AB= 证 显然BAB，下面证明ABB. 任取x，
17、xAB xAxB xBxB xB 因此有ABB. 综合上述得证. AB = A(AB) = A (由知AB=B，将AB代入B，并结合吸收律得证),33,证明AB AB=B AB=A AB= AB = AB = (AB)B = A(BB) = A = 假设AB不成立，那么 x(xAxB) xAB AB 与条件矛盾. 因此，结论AB成立。,证明,34,式（6.28）在化简集合公式中的应用,例 6.14 化简( ( ABC ) ( AB ) ) ( ( A( BC ) )A ) 解： 由于 AB ABC ， A A( BC ) 因此有： ( ( ABC ) ( AB ) ) ( ( A( BC )
18、)A ) = ( AB ) A （由式子（6.28） = ( AB ) A （由式子（6.27） = ( AA ) ( BA ) （分配律） = ( BA ) （矛盾律） = ( BA ) （交换律） = BA （同一律） = B A （由式子（6.27）,35,对称差运算算律 式（6.33）的证明,例 6.15 已知AB=AC，证明B=C 证 已知AB=AC，所以有 A(AB)=A(AC) (AA)B=(AA) C （由式子（6.30） B = C （由式子（6.32） B = C （由式子（6.29） B = C （由式子（6.31）,36,练习题,练习：证明下列集合恒等式 （1）（A B
19、） C=（A C） B 证明：左边=（A B） C = （ A B ） C （由式子（6.27） = （ A C ） B （交换律和结合律） =（A C） B （由式子（6.27） = 右边 （2）（A B） A）=A 证明：左边 = （A B） A） = （A B） A） （德摩根律） = （A B） A （德摩根律） = A （吸收律） = 右边,37,第六章 练习作业,书本第100页 第32题的第（1）小题 第33题的第（1）小题 第50题,38,第六章 总结,主要内容 集合的两种表示法 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系 特殊集合：空集、全集、幂集 文氏图及有穷集
20、合的计数 集合的, , , , 等运算以及广义, 运算 集合运算的算律及其应用,39,第六章 习题课,主要内容 集合的两种表示法 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系 特殊集合：空集、全集、幂集 文氏图及有穷集合的计数 集合的, , , , 等运算以及广义, 运算 集合运算的算律及其应用,40,基本要求,熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法,41,练习1,1判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) (4) (5)
21、 a, b a, b, c, a, b, c (6) a, b a, b, c, a, b (7) a, b a, b, a, b (8) a, b a, b, a,b,解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.,42,方法分析,(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法： 把 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可 能是集合表达式. (2) 判断AB的四种方法 若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现. 若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB，“P当且仅当Q”意味= 通过集合
22、运算判断AB，即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明,43,练习2,2设 S1=1, 2, , 8, 9， S2=2, 4, 6, 8 S3=1, 3, 5, 7, 9 S4=3, 4, 5 S5=3, 5 确定在以下条件下X是否与S1,S5中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？ （1）若 XS5= （2）若 XS4但 XS2= （3）若 XS1且 X S3 （4）若 XS3= （5）若 XS3 且 X S1,44,解答,解 (1) 和S5不交的子集不含有3和5，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4
23、和S5. 由于与S2不交，不能含有偶数， 因此 X=S5. (3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有 偶数，因此 X=S1, S2或S4. (4) XS3=意味着 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5. (5) 由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在.,45,练习3,3. 判断以下命题的真假，并说明理由. （1）AB = A B= （2）A(BC) = (AB)(AC) （3）AA = A （4）如果AB = B，则A = E. （5）A = xx，则 xA且x A.,46,解题思路,先将等式化简或恒等变形. 查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符
24、，结果为真. 注意以下两个重要的充要条件 AB = A AB = AB = AB AB = B AB = A 如果与条件相符，则命题为真. 如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明. 试着举出反例，证明命题为假.,47,解答,解 (1) B=是AB=A的充分条件，但不是必要条件. 当B不空但 是与A不交时也有AB=A. (2) 这是DM律，命题为真. (3) 不符合算律，反例如下： A=1，AA=，但是A. (4) 命题不为真. AB=B的充分必要条件是 BA，不是A=E. (5) 命题为真，因为 x 既是 A 的元素，也是 A 的子集,4
25、8,练习4,4证明 AB = AC AB = AC B = C,解题思路 分析命题：含有3个命题： AB = AC , AB = AC, B = C 证明要求 前提：命题和 结论：命题 证明方法： 恒等式代入 反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式,49,解答,方法一：恒等变形法 B = B(BA) = B(AB) = B(AC) = (BA)(BC) = (AC)(BC) = (AB)C = (AC)C = C,方法二：反证法. 假设 B C，则存在 x (xB且xC), 或存在 x (xC且xB). 不妨设为前者. 若x属于A，则x属于AB 但x不属于AC，与已知矛盾； 若x不属于A，则
26、x属于AB但x不属于AC，也与已知矛盾.,50,解答,方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式. 由已知等式和可以得到 (AB) (AB) = (AC) (AC) 即 AB = AC 从而有 A(AB) =A(AC) 根据结合律得 (AA)B = (AA) C 由于AA = , 化简上式得B = C.,51,练习5,5设A,B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件： (1) AB=B (2) AB=BA (3) AB=AB (4) AB=A,52,分析,解题思路: 求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明如下： (1) 化简给
27、定的集合等式 (2) 求解方法如下： 利用已知的算律或者充分必要条件进行判断 先求必要条件，然后验证充分性 利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论的证明方法加以验证,53,解答,解 (1) AB=B A=B=. 求解过程如下： 由AB=B得 (AB)B = BB 化简得B=. 再将这个结果代入原来的等式得A= . 从 而得到必要条件A=B=. 再验证充分性. 如果A=B=成立，则AB=B也成立.,(2) AB=BA A=B. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB=BA得 (AB)A=(BA)A 从而有A=AB, 即AB. 同理可证BA.,54,解答,(3) AB=AB A=B. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB=AB得 A(AB) = A(AB) 化简得A =AB，从而有AB. 类似可以证明BA.,(4) AB=A B=. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB = A得 A(AB) = AA 根据结合律有 (AA)B = AA 即 B = , 就是B = .,