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1、2.2：等差数列,1,5,3,7,9,城郊中学高一数学备课组,(一),温故知新,数列有哪些表示方法？ 数列与函数的关系？,你还记得吗？,研究发现我国儿童年龄在2-12周岁之间，其标准的身高、体重大致成规律性变化：,相差7,154,32,（1）84，91，98，105，112，147，154. （2）12，14，16，18，20，30，32,1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。,（3）1896，1900，1904，2008，2012，（ ）,2016,相差4,五,(4) 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22.,星期,路程(km),一,二
2、,三,4,7,10,日,22,四,13,16,六,19,相差3,为迎接世界田径锦标赛，刘翔的教练为他安排了为期一周的赛前热身，逐渐加大慢跑路程,(1) 84，91，98，105，112，147，154.,请问：它们有什么共同特点？,共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。,定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示.,是,不是,不是,判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。,（1）1，3，5，7， （2）9，6，
3、3，0，-3 （3）-8，-6，-4，-2，0， （4）3，3，3，3，,（6）15，12，10，8，6，,小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断： an+1-an是不是同一个常数？,是,是,是,a1=1,d=2,a1=9,d=-3,a1=-8,d=2,a1=3,d=0,巩固练习,1，4，7，10，13，16，( ),( ),请试着找规律填空：,19,22,思 考：在这个数列中，a20=？ 如何求解？ ？,一般地，如果等差数列的首项是 ，公差为 ，我们根据等差数列的定义，可以得到：,an=an-1+d=a1+(n-2)d+d=a1+（n-1）d，,an=a1+（n-1）d,(1
4、)式+(2)式+(n-1)式得：,an-a1=(n-1)d,例1 (1) 求等差数列8，5，2，的第20项。,解：,（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？,解：,因此，,解得,用一下,在等差数列中,已知a5=10,a12=31,解：由题意可知,即这个等差数列的首项是-，公差是.,求首项a1与公差d.,解得：,说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.,练一练,例2：某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车
5、费？,解：设需要支付的车费构成数列 ，由题意得：,答：需要支付车费23.2元。,用一下,练一练,在等差数列中,解： 由题意可得 a1+5d=12，a1+17d=36, d = 2 ，a1 =2, an = 2+(n-1) 2 = 2n,例3：在等差数列an中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,求通项公式an,分析：此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36, n=18分别代入通 项公式an = a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个 未知数组成方程组，可解出a1与d 。,求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。,像这样根据已知量和未知量之间
6、的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。,题后点评,求通项公式的关键步骤：,在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：,（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0,3,-6,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,探索发现,（3） a,( ) ,b,(2)2an=an-1+an+1(n1)呢？2an=an-k+an+k(nk0)呢？,在等差数列an中,在等差数列中，除首末两项外，任何一项都 是前后两项的等差中项,练习,在1与7之间插入一 个数a，使这三个数成等 差数列， 求此数列
7、,在1与7之间顺次插入三个数a，b，c 使这五个数成等差数列，求此数列,变式：,探究：在坐标系中画出下列数列的图像 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10， （2）数列：7，4，1，-2， （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，,分析：判断an是否是等差数列，我们可以利用等差数列的定义来判断。 解：因为 且p是一个与n无关的非零常数。所以这个数列是等差数列,首项为p+q,公差为p.,例4:已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p，q是常数（p0)，那么这种数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？,等差数列的图象1,（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，,等差数列的图象
8、2,（2）数列：7，4，1，-2，,等差数列的图象3,（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，,等差数列an=pn+q与一次函数y=px+q的比较,当p不为零时，等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。 当p是零时，等差数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀分布的一群孤立的点。,结论：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的 一次函数， 那么这个数列一定是等差数列,an=pn+q的图象其实就是一次函数y=px+q当x在正 整数范围内取值时相应的点的集合，p是等差数列 的公差。,结论,从函数的角度来看等差数列通项公式：,所以等差数列通项公式也可以表示为：,通项公式：,（
9、1）当 d0时，an递增； （2）当 d0时，an递减； （3）当 d=0时，an为常数.,例5：已知(1,3),(3,-1)是等差数列an图像上的 两点.(1)求这个等差数列的公差； (2)判断这个数列的单调性； (3)若5是p,q的等差中项，求ap+aq的值.,练习：已知三个数成等差数列并且该数列是递增 的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.,在等差数列an中,已知等差数列an中，am、公差d 是常数，试求出an的值。,分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am ,d 看成是常数.,解：设等差数列an的首项是a1，依题意可得： am=a1+(m-1)d an=a1+(n-
10、1)d - 得：an-am=a1+ ( n 1 )d-a1+(m-1)d=(n-m)d an=am +(n-m)d,思考题：,变形,例6：在等差数列an中，已知a2+a4+a6+a8=36,求： （1）a3+a7的值； （2）求a6，a4的等差中项。,在等差数列an中,思考题：,已知一个无穷等差数列an的首项为a1,公差为d. (1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新 数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ (2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列 是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ (3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，
11、组成一个新的数列 呢？ (4)将数列中的各项都加上或减去同一常数m，组成一个新的数列 呢？ (5)将数列中的各项都乘上或除以同一常数k，组成一个新的数列 呢？ (6)若将两个不同的等差数列相加构成一个新数列呢？两个不同 的等差数列相乘构成一个新数列呢？,在等差数列an中,(6)an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即 . (7)若数列an为等差数列，则数列anb(、b是常数)是公差为 的等差数列 (8)若数列an为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成公差为 的等差数列 (9)若数列an与bn均为等差数列，则Aan
12、Bbn也是,a1ana2an1aiani1,d,md,等差数列,推导等差数列通项公式的方法叫做 法.,递推,每一项与 它前一项的差,二、学习回顾,等差数列,如果一个数列从第2项起，,等于同一个常数.,. . . . .,【说明】数列 an 为等差数列 ；,an+1-an=d,或an+1=an+d,d,=an+1-an,公差是 的常数；,唯一,an=a1+(n-1)d,等差数列各项对应的点都在同一条直线上.,直线的一般形式：,（三）等差数列的通项公式为：,等差数列的图象为相应直线上的点。,（二）等差数列的性质 （1）等差中项 （2）构造新数列,小 结,本节课学习的主要内容有： 等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 本节课的能力要求是： (1)理解等差数列的概念； (2)掌握等差数列的通项公式； (3) 能用公式解决一些简单的问题.,