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1、,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 1,近自由电子模型是计算晶体能带的诸多近似方法之一,一、近自由电子模型 晶格周期势场起伏很小（弱周期势），使电子的行为接近自由电子时采用近自由电子近似模型的处理方法：,作为零级近似，可用势场的平均值V0代替晶格势V（r）,微扰法：把周期势的起伏V（r）- V0作为微扰处理。,Page 2,设由N个原子组成的一维晶格，基矢为：,一维晶格中电子的薛定谔方程方程为,倒格子基矢为：,将周期势展成付里叶级数,V（x）:晶格周期势。,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 3,展开系数：,V0是展开系数中n=0项的系数，它等于势场的平均值，
2、即,由于V(x)是实数，因而级数的系数满足,按照微扰理论，单电子哈密顿量写成如下形式：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 4,其本征能量和零级归一化波函数为,一般取V0等于0。,代表周期势场的起伏，当作微扰项。可得零级近似,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 5,式中的k在周期性边界条件下只能取,即零级近似是自由电子，故称为自由电子近似。对于更高级次的解，可用微扰理论求得。,二、微扰计算： 按照量子力学的微扰理论，电子的能量可写为：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 6,上式表明晶格微扰项对电子能量的一级修正项为零。,能量的二级修正项等于,其
3、中微扰矩阵元:,计算如下：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 7,按原胞划分写成,对不同原胞引入积分变换：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 8,上式加式内各项均为1，因此,两种情况：,加式内各项可用几何级数计算：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 9,而,上式分子为,分母不为零，且,为V（x）付里叶展开系数。因此有,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 10,若只考虑到电子能量的二级修正项，则能量为,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 11,需改用简并微扰的方法。,与（14）式相对应是,这正是发生布拉格反射的
4、劳厄条件: (入射波矢k在倒格矢Kh方向上的投影应为Kh长度的一半，即k的端点应落在Kh的垂直平分面上),（两边取平方）,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 12,相应的一级近似波函数为,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page 13,上式表明： 考虑弱周期势的微扰，显示了波函数从自由电子的平面波向布洛赫波的过渡。,（17）式第一部分代表波矢k的前进平面波；第二部分代表电 子在行进过程中受到周期势场的散射作用所产生的散射波。,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,本节结束,Page 14,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,由于在零级近似解中，能量E是k的二次函数
5、，,即,这两个状态能量相等，属于简并态的情况，必须用简并态微扰理论来讨论。,零级近似的波函数是相互简并的零级波函数的线性组合。 可以写成,上式第一项为前进波，第二项为反射波，两者波长相等。将上式代入薛定谔方程,Page 15,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 16,得到两个线性方程组,和,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 17,方程组有非零解的条件,由此解得能量本征值为,把能量本征值分别代入（5）式，可求得系数A和B，即可求出对应能量本征值的本征函数。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 18,在布里渊区界面附近,零级近似的波函数（1）式仍然成立,故（7）式变
6、为,Tn代表自由电子在布里渊区边界处的动能。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 19,在布里渊区界面上，有,下面分三种情况讨论布里渊区附近的情况：,上式表明，简并的状态受到周期场的微扰作用后，能级发生分裂，产生能隙,能隙即禁带宽度，禁带宽度由周期势场付里叶级数的系数Vn决定，表明禁带的出现是电子在周期场中运动的必然结果。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 21,2、当,时，即k极接近布里渊区界面时：,由于,利用二项式定理可将（8）式化成:,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 22,即,上式表示，当,右图给出了在k=/a,分别
7、以抛物线方式趋于,和,附近，E（k）随k的变化情况。,讲义5.36,5.37式,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 23,已可适用于非简并微扰理论，电子的能量与自由电子能量逐浙相当，同上节非简并微扰结果相近。,总结以上内容，要点是： 在k=n/a处（布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为2|Vn|。 在k=n/a附近，能带底的电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶是向下的抛物线。 在k远离n/a 处，电子的能量与自由电子的能量相近。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 24,能带的表示图式,根据能带En(k)是k的周期函数这一特点，表示En(k)与k的关系
8、的图示有以下三种：,（1）简约区图式：把k限制在第一布里渊区中，对于每一个k值，各能带都有一个相应的能量E1(k),E2(k),每个能带都在布里渊区中表示出来。,（2）重复图式：取每个能带在第一布里渊区的图形作周期性重复。（3）扩展区图式：按照能量的高低，把各能带分别限制在第一、第二、第三，布里渊区，这样能量便是k的单值函数，一个布里渊区表示一个能带。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 25,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 26,能带中E（k）函数在k空间的特性,（1）周期性,即能量是k的周期函数，在倒易空间具有倒格子的周期性，即相差一个倒格矢的两个状态是等价的。 这
9、可证明如下：,因为布洛赫函数,令,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,式左右两侧差位相,它也是a的周期函数，故：,Page 27,是k的周期函数。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,可见, k与k+2n/a这两个状态不是独立的, 任何依赖于波矢k的可观察的物理量在状态,和,都有相同的数值,（如代表相同的电荷分布） 两个波函数所描述的状态差别仅在于其相位相差:,即能带必须是k的周期函数, 周期由倒格子基矢确定:,Page 28,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,另外,将波矢,由于,代表相同的电子态,应当有相同的本征值。即应有相同的能量。,Page 29,（2）对称性,证明：把布洛赫函数代入薛定谔方程,得,上式两边取复共轭，得,即,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 30,再把（19）式中的k代之以-k，得,其本征值应相等，即,本节结束,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page 31,例,个人观点供参考，欢迎讨论,