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1、青岛版小学数学六年级下册圆的面积教学实录与评析教学内容：青岛版义务教育课程标准实验教科书数学六年级下册第一单元。教学目标：l 。经历圆面积计算公式的推导过程掌握圆的面积计算公式。2 能正确运用圆面积的计算公式计算圆的面积。3 在探究圆面积的计算公式过程中， 体会转化的数学思想方法；初步感受极限的思想。教学重点和难点：圆面积的计算公式推导。教学准备：圆形纸片、剪刀、多媒体课件等。课前谈话：师：昨天咱们已经见过面了，还记得麻老师吗?生：记得。师：大家看今天的课堂和以前有什么不一样?生：今天听课的老师特别多。师：这些老师都是从全国各地来听课的，你们想和老师说点什么吗 ?生 l ：祝老师们工作顺利 !
2、生 z：我代表麻老师向全国各地的老师们问好 !师：谢谢你 ! 麻老师在给自己的学生上课时，经常会在课前来一段热身讲个小故事。我们班同学说这是“小故事大道理” ，今天咱们也来试一试。“曹冲称象”的故事，你们都知道吧 ?生：知道。师：老师有个问题不明白，本来想知道大象的重量，曹冲为什么要称那些石头呢 ?生：石头的重量和大象的重量相等。师：你说的这点很关键，必须保证石头和大象的重量相等，这样称出的石头的重量就是大象的重量。那曹冲为什么不直接称大象呢 ? 生：因为大象太重，不能直接称出大象的重量。师：是呀，在当时条件下，无法直接称出大象的重量，所以曹冲才想出用石头代替大象的方法。 其实这也是我们数学学
3、习中经常要用到的“转化”的方法。也就是当我们遇到新问题， 而不能直接解决时。可以把它转化成用已有的知识和方法能解决的问题。 评析：麻老师与学生轻松 “随意 ”的课前谈话，一方面，恰到好处地放松了学生的紧张心情， 为课堂教学做好了心理准备： 另一方面，用“曹冲称象 ”的故事唤起学生已有的经验。教师设计了 “怎么不直接称大象的重量 ?”这一关键问题，抓住学生回答中的 “用石头代替大象 石头的重量和大象的重量相等 ”等要点。把学生经验中的 “转化 ”思想激活，巧妙地为新课的教学做好了思想方法上的准备。 教学过程：一、开门见山揭示课题师： ( 出示一个圆 ) 大家看，这是什么图形 ?生：圆形。师：我们
4、已经认识了圆，学习了圆的周长，这节课我们一起来学习圆的面积。 ( 板书课题：圆的面积 )评析：采用开门见山的的引入方式，基于以下考虑：(1) 关于平面图形的学习， 学生已经积累了丰富的经验 熟悉了研究平面图形的思路 “认识特征 周长 面积 ”有关圆的知识的学习思路同样如此。因此这样设计有利于形成学生研究问题的思路，有利于把新知识纳入已有的认知结构。(2) 学生已经积累了有关平面图形面积的知识和方法，设计这样的数学情景有利于知识的迁移。 (3) 四十分钟的课堂，学生要 “ 经历 ”前人历尽艰辛推导圆的面积计算公式的历程，这样设计简洁明快 结构紧凑，能保证把过程性目标落实到位。 二、第一次探究。明
5、确思路。体会 “转化 ”的数学思想方法师：请你想一想，什么是圆的面积呢 ? 生：圆的大小就是圆的面积 。师：就是说圆所占平面的大小就是圆的面积。那怎么求圆的面积呢 ?( 学生沉默 ) 大家好像遇到了困难，请你在大脑中搜索一下，以前我们研究一个图形的面积时用到过哪些好的方法了 ?生：可以把新图形转化成已学过的图形， 比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。师：那圆能不能转化成我们学过的图形呢 ?我们可以试一试。请大家利用手中的圆纸片和准备的工具在小组内研究研究。( 学生活动，教师巡视。 ) 评析：“圆”作为一种由曲线围成的图形， 与学生头脑中熟悉的由直线段围成的图形 ( 如长方形、平行四
6、边形等 ) 差别比较大， 因此当麻老师提出 “怎么求圆的面积呢 ?”，学生感到很茫然。此时。学生最渴望得到老师的指点。作为教师，如何施展自己的 “点金 ”术，取决于教师的教学理念。在这里，麻老师没有直截了当地讲 “方法 ”而是从培养学生的解题能力入手， 引导学生从头脑里检索已有的知识和方法： “以前我们研究一个图形时。用到过哪些好的方法了 ?”这样设计，既在学生迷茫时指明了思考的方向和方法， 又让学生把 “圆”这个看似特殊的图形 ( 用曲线围成的图形 ) 与以前学过的图形 ( 用直线段围成的图形 ) 有机地联系起来了，沟通了知识之间的联系。促成了迁移。 师：大家请安静，刚才老师发现有的小组已经
7、有想法了。我看你们小组的想法就很好谁代表小组上来说一说 ?大家认真听看看他们是怎么想的 ?生 1：我们把圆纸片对折得到 4 个扇形求出二个扇形的面积，再乘 4 就能得到圆的面积。师：大家觉得这样行吗 ?生 2：你们怎么求扇形的面积 ?生 1：不会求。生 3：扇形的面积不会求，但是扇形像我们学过的三角形。师：把扇形当成三角形求出面积可以吗 ?生 4：不行这样求出的面积比圆的面积小。师：怎样让扇形和三角形的面积接近一些 ?( 把表示 14 个圆的扇形纸贴在黑板上 ) 一会儿可以继续研究。虽然这个小组折出的扇形不太像三角形。 可老师觉得这种方法给了我们一个很重要的启示，那就是他们想把圆通过折一折转化
8、成学过的三角形来求出圆的面积( 板书：折一折 ) 。师：我看你们的想法和他们不一样，谁代表你们组说一说?生 1：我们想把圆沿着半径剪成 4 个扇形把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有些像平行四边形。师：多有创意的想法呀，这个小组先把圆剪成 4 份，又重新拼成了新的图形 ( 板书：剪拼 ) ，求出这个图形的面积也就知道了圆的面积( 把学生拼的图形贴在黑板上) 。这个小组说他们拼成了平行四边形，大家觉得像吗 ?生：不像。师：怎么让拼成的图形更像平行四边形也可以再研究。现在，同学们有了两种思路， 一种是把圆折一折想转化成三角形，还有一种是想通过剪拼把圆转化成平行四边形你们发现这两种方法的共同点了吗 ?
9、生：都是想把圆这个新图形转化成已经学过的图形求出面积。师：说得太好了 ! 抓住了问题的关键。 ( 板书：转化 ) 评析：通过第一次探究，学生产生了两种很有价值的思路。即通过折一折，把圆转化成近似的三角形： 通过剪拼把圆转化成近似的平行四边形。 教师设计了“你们发现这两种方法的共同点了吗 ?”这一关键问题，旨在引导学生通过回顾反思，达到渗透“转化”这一数学思想方法的目的。 三、第二次探究。明确方法。体验“极限思想”师：我发现一个问题。不管是折成的三角形还是剪拼成的平行四边形都不是很像怎么才能更像呢，这就是下面要研究的问题。请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。小组合作教师巡视指导。师：各个小组
10、都研究出结果了，谁想先来展示一下 ?请你们小组先说。生 1：我们把圆对折平均分成 16 份，折出的形状很像是三角形。用一个三角形的面积乘三角形的个数就能得到圆的面积。师：为什么要折这么多份 ?生 2：因为折成 4 份的话，折出的形状是扇形和三角形相差太大。折的份数越多折出的形状越像三角形。师：你们同意吗 ?这就是把圆折成 16 份时其中的一份， ( 贴在黑板上 ) 和刚才平均分成 4 份中的一份相比，确实像三角形了。如果想让折出的形状更接近三角形，怎么办 ?生 2：可以继续折纸，把圆平均分的份数再多一些分成 32 份。师：你继续折给大家看看。 ( 学生折起来很费劲 ) 看来同学们再继续折纸有困
11、难了 老师在电脑上给大家演示一下。这是同学们刚才把圆平均分成 16 份的形状， ( 课件演示“正十六边形”) 这一份看起来像是三角形了。现在我们再把它平均分成32 份，有什么变化 ?( 课件演示正 32 边形，并突出其中一份的形状)生：其中的一份基本上是三角形了。 ： 就是把 平均分成 32 份 其。中的一份， ( 在黑板上 ) 看起来很接近三角形了。如果分的份数再多呢 ? 大家 上眼睛想象一下，如果把 平均分成 64 份、 128 份分的份数越来越多那其中的一份会是什么形状 ?生：分的份数越多。其中的一份越像三角形。 ：是 的 ?大家 看屏幕把 平均分成 4 份其中的一份和三角形差得确 比
12、大。 大家 察把 分下去 会 生什么 化。 ( 利用 件从四份开始演示，分的份数逐 增加 )生： ( 感 很神奇 ) 越来越接近三角形了。 ：和大家想的一 ，把 分的份数越多，其中的一份越接近三角形。三角形的底可以看成 段弧 三角形的高可以看成是 的半径。你 会求三角形的面 ?三角形的面 会求了， 能求出 的面 ?生：能 ! ：用 个小 的方法， 成功地把求 的面 化成求三角形的面 你 的方法真好。 有不一 的方法 ?( 一个小 迫不及待地 手想 言 ) 你 小 派个代表展示你 的成果。生 1：我 把 平均分成 8 份，剪下来是 8 个近似的三角形，拼在一起是个近似的平行四 形。 ： 个方法
13、真不 ， 个小 把 剪成 8 份， ( 把 个小 的作品 在黑板上 ) 和 才剪成 4 份拼成的 形相比， 有什么 化呢 ?生 1：分成 8 份拼成的 形比分成 4 份的更像平行四 形。 ：能 拼成的 形更接近平行四 形 ?生 1：可以把 分的份数再多一些。 ：哪个小 分的份数更多 ?(教 另一 展示自己平均分成16 份后拼成的 形。 )生 4：我 把 剪成 16 份，拼成了平行四 形。 ( 把 个小 的作品 在黑板上 ) ：和前两次拼成的 形比，又有什么 化?生 4：更像平行四 形了。 ：如果要 拼成的 形比它 接近平行四 形怎么 ?生 4：可以 分下去，分成32 份， 64 份， 128
14、份 ： 在如果老 你把 剪成128 份，有什么感 ?生：太麻 了。 ：我 来帮忙。大家看，老 在 上把 个 平均分了32 份，拼成新的 形，你有什么 呢?( 件演示 )生：拼成的 形更接近于平行四 形。 ：如果把 平均分成64 份呢 ?( 件演示 )生：更接近于平行四 形了有些像是 方形了。 ：把 平均分成 64 份，拼成的 形有些像 方形了。大家想象一下如果把 分的份数再多呢 ?生：拼成的 形更接近 方形。 ：大家 看屏幕， ( 件演示 ) 把 平均分成 128 份，拼成的 形看起来很像 方形了，分的份数再多呢 ?生：简直就是长方形了。师：把圆剪一剪，拼一拼，得到的图形越来越接近于长方形。这
15、样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。我们把圆转化成了长方形，形状变了，什么没变呢?生：面积。师：求出了长方形的面积也就求出了圆的面积，这种方法也很好。 评析：学生沿着自主探究出来的思路继续研究时。一方面，从直觉上认为这样继续折下去， 或继续剪拼下去。 得到的图形一定会越来越像“三角形”或“平行四边形” 但最终能不能说就是“三角形”或“平行四边形”了呢?对处于小学阶段的学生来说此时不免有几分困惑。在这里 麻老师有效利用学生探究出来的宝贵资源围绕着“怎样更像” 进行了一次又一次的追问 同时又引导学生在操作的基础上进行想象再充分利用课件的优势，弥补操作与想象的不足，让学生真切地看到了 “自己想象
16、的过程”，充分地体验了 “极限思想”。四、第三次探究，深化思维。推导公式师：刚才同学们借助学具通过动手操作，都找到解决问题的方法了。一种是把圆转化成长方形求出面积：一种是把圆转化成三角形，得到圆的面积。可是数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理。 现在老师想给大家提个更高的要求：每个小组能不能还利用刚才选择的方法，推导出圆的面积计算公式呢 ?这可是一个很有挑战性的任务 ! 大家有没有信心完成 ?生：有 !师：刚才大家利用圆纸片折的、剪拼的图形都不太标准，老师给大家准备了屏幕上呈现的这两种方法的示意图帮助你思考，大家可以对照示意图把推导的过程写在图的下面。( 教
17、师按照每个小组选择的方法分发学具。学生讨论，教师巡视指导。 ) 评析：在第二次探究中，学生主要是借助学具进行动手操作明晰了求圆的面积的方法。 操作对于小学生学习数学是必不可少的手段和方法但数学思维的特点是要进行逻辑思考和推理。因此在这里，麻老师用下面的这段话： “数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理。 ”把学生的思考推向深入。另外，在第二次探究中，学生有的折出的图形不够规范，有的剪拼活动还没有结束，但思路和方法都已经理解到到位了。在这种情况下，麻老师匠心独具地设计了示意图。正确地处理了操作与思维的关系。并用下面这样一段话 “刚才大家利用圆纸片折的、 剪拼的图
18、形都不太标准老师给大家准备了电脑上这两种方法的示意图帮助你思考。 ” 让学生明白了第三阶段的探究方式与方法。 师：这个小组迫不及待地想展示他们推导的结果了，我们一起来看看。生 1：( 剪拼法 ) 把圆剪一剪、拼一拼变成了长方形它们的面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半用f 2=wr 表示，宽相当 于 半 径 用r表 示 。 长 方 形 的 面积 = 长 宽 ， 圆的 面 积=rxr=-31r2(实物投影呈现 )师：大家听清楚了吗 ?谁愿意再起来说一说。( 教师再请一个同学说自己的想法)师： ( 边讲边板书 ) 老师也听明白了，把圆转化成长方形面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半，宽
19、相当于半径，因为长方形的面积 =长宽，所以圆的面积 =3TX =-IT，2。现在要求圆的面积是不是很简单了?知道什么条件就可以求出圆的面积了?生：圆的半径。师：你们表现得真好 ! 我们再来听一听这个小组的想法。生 2：圆的面积 =c32xr+2 32=cxr+2 。师：你们的式子还挺复杂，能说一说每一步表示什么吗 ?生：把圆平均分成 32 份，三角形的底是 c32高是半径 r ，圆的面积 =c32xr 232=CXr 2。师：( 结合学生的交流继续引导探索 )c 可以用 2 竹 r 表示。 2wfxr 等于 2w，2，2w，2 除以 2 等于， 2。师：刚才两个小组推导的结果都是 ，2，真是条
20、条大路通罗马呀。圆的面积可以用 S 表示圆的面积计算公式就是： S=1T，2。现在看来。求圆的面积需要什么条件就可以了 ?生：圆的半径。师：知道了半径用仃乘半径的平方就求出了圆的面积。 评析：第三次探究结果的交流， 教师有意识地先让学生交流将圆转化成长方形求出圆的面积公式的方法因为这种方法学生理解起来比较容易是要求每个学生都要掌握的方法。五、解决问题1师：现在你能求出黑板上这个圆形纸片的面积了吧?需要什么条件 ?这个圆的半径是lO 厘米面积是多少呢 ?请大家做在练习本上。( 请一名学生到黑板上板演。)( 教师组织交流。 )2师：知道圆的半径可以求出圆的面积，那么，知道直径和周长能不能求出圆的面
21、积呢?教师出示直径为6 分米的圆和周长为1256厘米的圆学生思考后说出求面积的方法。即要求圆的面积必须先根据直径或周长求出圆的半径。师：这些问题下一节课我们还要继续进行研究这节课先做到这里。 评析：因为本节课的主要目标是引导学生去经历探究圆的面积公式的过程充分体验“转化”和“极限思想” 而有关求圆的面积的变式练习以及利用圃的面积公式解决实际问题的练习都安排在下一节课中。因此。这节课只设计了几个基本练习，目的是检验学生对圆的面积的理解和掌握程度。 六、全课总结师：时间过得很快，一节课就要结束了大家有什么收获?生：我会求圆的面积了，公式是S=，2。师：这是知识上的收获 在解决问题的方法上有没有什么
22、收获呢?生：可以把圆转化成学过的图形推导出圆的面积计算公式。师：同学们不仅学会了怎样计算圆的面积。更重要的是大家运用转化的方法把圆这个新图形转化成了已经学过的图形从而求出了圆的面积。以后大家遇到新问题，都可以尝试一下，看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。评析：数学学习不仅是数学知识的学习，更重要的是数学思想与方法的学习。 课的最后。麻老师不仅与学生一起回顾了本节课学到的数学知识。还一起回顾了解决问题的思想方法。这一 “画龙点睛 ”之笔进一步强化了本节课的设计意图。 总评：1留给学生充足的探索空间。圆的面积这节课，以往的教学思路是：先复习已经学过的平行四边形等图形的面积公式推导过程及方法然后
23、设问 “能不能把圆也剪拼成已经学过的图形来求它的面积呢?”接下来的大量时间用于学生动手剪拼，重点放在圆与剪拼后的长方形的关系的理解上最后是通过花样繁多的练习， 形成学生的计算技能。 以及熟练地运用圆面积计算公式去解题。麻老师的这节课的设计是：首先，从已学过的有关圆的知识 ( 圆的认识、圆的周长 ) 入手，按照以前学习平面图形的一般思路。按照知识的形成发展过程，引出求圆的面积的问题。当学生面对这一问题束手无策时 引导学生从头脑中检索已有的与解决这一问题相关的知识与方法。因为在现实生活中，在科学研究中，当你面临一个新的问题需要解决时没有人事先为你检索好所需的知识与方法即我们教师通常在课堂中所设计的
24、 “复习铺垫 ”。所以我们这样设计是遵循了人类解决问题的一般规律。 其次，充分放手让学生去探索圆的面积计算公式。我们认为，在探索圆的面积计算公式时。最有价值的、最具有思维含量的地方是怎样让学生自己去想到把圆转化成已经学过的平面图形 而接下来的怎样让折出的图形更像三角形怎样让剪拼出的图形更像平行四边形等等，都只是技术层面上的改进而已。因此，麻老师在这一环节中。没有告诉学生“剪拼 ”的方法，而是充分放手让学生去探索。事实证明，只要有足够的时间。学生能够探索出课堂中展示出的两种思路而且在这一任务的驱动下 学生研究的兴趣非常浓厚，讨论得非常投入而热烈。第三，这节课设计了三次探索把重心放在了让学生经历探
25、索过程，体验数学思想方法等过程性目标上至于通过练习形成计算技能及解决实际问题的能力等都安排在以后的几个课时中去完成。2把基本活动经验和基本数学思想方法作为小学数学教学追求的终极目标。数学课标修订组的专家提出了 “四基 ”的概念。他们认为，数学教学不仅要重视 “双基 ” 即基础知识和基本技能， 而且要重视获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本思想和基本活动经验。圆的面积这节课的设计充分体现了这一理念。三次探究活动，把学生推到了活动主体的位置上把数学教学变成了数学活动的教学。第一次探究活动，通过折一折和剪拼把圆转化成已经学过的三角形和平行四边形得到了解决问题的思路。 然后在教师设计的 “这两
26、种方法有什么共同点 ?”这一问题的引领下通过反思体会了 “转化 ”这一数学思想方法的妙用。 第二次探究活动， 围绕着 “怎样使折出的图形更像三角形 ”。“使剪拼后的图形更像平行四边形”这些问题开展操作、想象活动。充分体验了“极限思想 ”。第三次探究活动，学生借助数字、字母、符号等，运用数学的思维方式进行思考成功地推导出圆的面积计算公式。 在三次探究活动中 学生利用已有的知识和经验进行操作、想象，进行交流与思维碰撞，他们经历过程与体验积累了探究数学问题的经验获得了研究数学问题的方法。3正确处理操作与思维的关系。小学生的认知水平决定了他们对许多数学知识的学习离不开操作。但操作不是目的要引导学生学会用数学的思维方式进行思考。即借助数字、字母和符号等进行抽象的分析、判断和推理。圆的面积这节课，第一次和第二次探究活动是以动手操作、直观演示为主，第三次探究活动的方式和方法不同于前两次是要求学生摆脱动手操作利用教师提供的示意图作为思维的支撑，用数学的思维方式进行思考。学生在前两次探究的基础上通过思考明确了圆与转化后的图形各部分之间的对应关系从而推导出了圆的面积计算公式。4整合各种教学手段提高课堂教学效率。