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1、( 满分 150 分。考试时间l20 分钟。 )一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的（1） ( x 1)4的展开式中 x2的系数为（A ） 4（ B） 6（C） 10（D ） 20（2）在等差数列an 中， a1 a910 ，则 a5 的值为（A ） 5（ B） 6（C） 8（D ） 10（3）若向量 a(3, m) ， b(2,1) ， a b0 ，则实数 m的值为33（C） 2（D ） 6（A ）（ B）22（4）函数 y164x 的值域是（A ） 0,)（ B） 0,4（C） 0, 4)（D ） (0, 4)（5）某
2、单位有职工750 人，其中青年职工350 人，中年职工250 人，老年职工150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本. 若样本中的青年职工为 7 人，则样本容量为（A ） 7（ B） 15（C） 25（D ） 35（6）下列函数中，周期为，且在 , 上为减函数的是42（A ） ysin(2 x)（B ）2（C） ysin( x)（D ）2x0,ycos(2 x)2ycos(x)2（7）设变量 x, y 满足约束条件 xy0,则 z 3x2 y 的最大值为2xy 20,（A ） 0（ B） 2（C） 4（D ） 6（8）若直线 yx2cos,) ）有两个不同的公共点，
3、则实数x b与曲线sin（0,2yb 的取值范围为（A ） (22,1)（B ） 22,22（C） (,22)(22,)（D ） (22,22)（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A ）只有 1 个（ B）恰有3 个（C）恰有 4 个（D ）有无穷多个（10）某单位拟安排6 位员工在今年6 月 14日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1 天；若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有（A ） 30 种（ B） 36 种（C） 42 种（D ） 48 种二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上
4、（11）设 Ax | x 1 0, Bx | x0 ，则 A B =_ .（12）已知 t0 ，则函数t24t1yt的最小值为 _ .（13）已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点， AF2 ，则BF_ .（ 14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 1、 1、1 ，且各道工序互不影响，则706968加工出来的零件的次品率为_ .（ 15）如题（ 15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C ，各段弧所在的圆经过同一点PP不在 C（点上 ） 且 半 径 相 等 .设 第 i段 弧 所 对 的 圆 心 角 为 i (i
5、1,2,3)， 则cos 1 cos 23 sin1 sin23 _ .3333三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）（本小题满分 13分，（）小问 6 分，（）小问7 分 . ）已知an 是首项为 19，公差为 -2 的等差数列，Sn 为 an 的前 n项和 .（）求通项an 及 Sn ；（）设 bnan 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 求数列bn 的通项公式及其前n项和 Tn .（17）（本小 分13 分，（）小 6 分，（）小 7 分 . ）在甲、乙等6 个 位参加的一次“唱 ”演出活 中，每个 位的 目集中安排在一起 . 若采用
6、抽 的方式随机确定各 位的演出 序（序号 1,2， 6），求：（）甲、乙两 位的演出序号均 偶数的概率；（）甲、乙两 位的演出序号不相 的概率.（18）（本小 分13 分），（）小 5 分，（）小 8 分） ABC 的内角 A 、 B 、C 的 分 a、 b、c,且 3 b2 +3 c2 -3 a2 =42 bc .( ) 求 sinA 的 ；2sin( A)sin( B C)( )求44的 .1cos2 A(19) ( 本小 分12 分 ), ( )小 5 分， ( )小 7 分 .)已知函数 f ( x) ax3x2bx (其中常数 a,bR), g (x) f (x)f ( x) 是奇函
7、数 .( )求 f ( x) 的表达式 ;( )讨论 g (x) 的单调性，并求g(x) 在区间上的最大值和最小值 .（ 20）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分 . ）如题（ 20）图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 底面 ABCD ， PAAB2 ，点 E 是棱 PB的中点 .（）证明：AE 平面 PBC ；（）若 AD1，求二面角 BECD 的平面角的余弦值.（ 21）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分 . ）已知以原点 O 为中心， F ( 5,0) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e5.2（）求双曲线C 的标准
8、方程及其渐近线方程；（）如题（21）图，已知过点 M ( x1 , y1) 的直线 l1 ：x1 x 4 y1 y4 与过点 N (x2 , y2 )（其中 x2 x1 ）的直线 l2 ： x2 x4 y2 y 4 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、 H 两点，求 OG OH 的值 .参考答案1-10 BADCBACDDC二填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分把答案填写在答题卡相应位置上（11）解析：x | x1x | x0x |1x0（12）解析： yt 24t 1t 142(t0) ，当且仅当 t1时， ymin2tt（13）解析：由
9、抛物线的定义可知AFAA1KF2ABx轴故 AFBF2（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率p1696867370696870（15）解析： cos 1 cos 23sin1 sin23cos 12333333又 1232，所以 cos123132三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）解：（ I）因为 an 是首项为a119, 公差 d2 的等差数列，所以 an192(n1)2n21,Sn(n1)19n2（ II ）由题意 bnan3n 1 , 所以 bnb n 1 ,TnSn(133n
10、1 )n220n3n21 .（17）解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6 个位置中的任两个，有A6230 种等可能的结果。（ I ）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”则 A 包含的结果有 A32 6 种，故所求概率为P( A)61 .30 5（ II ）设 B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”则 B 表示甲、乙两单位序号相邻，B 包含的结果有5 2! 10 种。从而 P( B)1 P(B)1102.303（18）解：（ I）由余弦定理得 cos Ab2c 2a 222 ,2bc3又 0 A, 故 sin A1cos2 A1 .32sin( A) sin(A)（ II
11、 ）原式441cos2A2 sin( A) sin( A)442sin2 A2(2 sin A2 cos A)( 2 sin A2 cos A)22222sin 2 Asin 2 Acos2 A2sin 2 A7 .2（19）解：（）由题意得f (x)3ax 22 xb.因此 g (x) f ( x)f (x)ax2(3a1) x2(b 2)x b.因为函数 g(x) 是奇函数，所以 g ( x)g( x),即对任意实数 x, 有a( x) 3(3a1)(x) 2(b2)( x)b ax2(3a 1)x 2(b 2)x b,从而 3a1 0,b0, 解得 a1 , b0,因此 f (x)的解析
12、表达式为3f ( x)1 x3x2.3（）由（）知 g( x)1x22x, 所以 g (x)x 22,令 g ( x)0,解得 x12 ，3x22, 则当 x2或x2时 , g ( x)0,从而 g (x)在区间 (,2 , 2,)上是减函数； 当2x2时, g ( x)0, 从而 g( x) 在区间 2 ,2 上是增函数。由前面讨论知，g( x)在区间 1,2上的最大值与最小值只 能在 x1,2 ,2时取得 , 而g (1)5424因此, g( 2 ), g(2).333g (x)在1,2区上的间424g( 2)，最小值为g (2).33（20）（ I ）证明：如答（ 20）图 1，由 PA
13、底面 ABCD ，得 PAAB ，由 PA=AB 知 PAB为等腰直角三角形，又点E 是棱 PB 的中点，故 AE PB由题意知BC AB ，又 AB 是 PB 在面 ABCD 内的射影，由垂线定理得BCPB ，从而 PC平面 PAB ，因 AE BP， AE BC ，所以 AE 平面 PBC。（ II ）解：由（ I）知 BC平面 PAB，又 AD/BC ，得 AD 平面 PAB ，故 AD AE 。在 RtPAB 中， PA=AB=2 ，AE1 PB1PA 2AB 21.22从而在 Rt CBE 中,CEBE 2BC 22.又 CD2 ，所以CED 为等边三角形，取 CE 的中点 F，连接
14、 DF，则 DFCE.因 BE=BC=1 ，且 BC BE ，则EBC 为等腰直角三角形，连接BF，则 BF CE ，所以BFD 为所求的二面角的平面角。连接 BD ，在RFD 中，DF CD sin6, BF1CE2, BDBC 2CD 23.3222所以 cos BFDDF 2BF 2BD 23 .2 DFBF3故二面角 B EC D 的平面角的余弦值为3 .3解法二：（ I ）如答（ 20）图 2，以 A 为坐标原点，射线AB 、 AD 、 AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A xyz.设 D（ 0， a，0），则 B( 2,0,0), C( 2,a,0)
15、P(0,0,2), E(2 ,0,2 ) .22于是 AE(2 ,0,2 ), BC(0, a,0)22PC(2, a,2)则 AE BC0, AE PC0 ，所以 AE 平面 PBC.（ II ）解：设平面BEC 的法向量为 n，由（ I）知， AE 平面 BEC ，故可取 n1EA(2 ,0,2 )22设平面 DEC 的法向量 n2( x2 , y2 , z2 ) ，则 n2 DC0 ，n2DE0.由 | AD | =1，得 D (0,1,0), C(2 ,1,0)从而 DC(2 ,0,0), DE(2, 1,2 ),22x20,故2y22z20x222所以 x20, z22 y2 .可取
16、 y21, 则n2(0,1,2)从而 cos n1 , n2n1n23 .| n1 | n2 |3所以二面角 B EC D 的平面角的余弦值为3 .3（21）（本题12 分）解：（ I）设 C 的标准方程是x2y21(a0, b0) ，a2b2则由题意 c5,ec5 .a2因此 a2,bc 2a 21,C 的标准方程为x 2y21.4C 的渐近线方程为 y12 y0和 x2 y0.x,即 x2（ II ）解法一：如图（21）图，由题意点E( xE , yE ) 在直线 l : x1 x4 y1 y 4 和l 2 : x2 x4y1 y4 上，因此有 x1xE4 y1 yE4, x2 xE4 y
17、2 y E4故点 M 、N 均在直线 xE x4 yE y4 上，因此直线MN 的方程为xE x 4 yE y4.设 G、 H 分别是直线 MN 与渐近线 x2 y0 及 x2 y0 的交点，由方程组xE x 4 y E y 4,xE x 4y E y 4,x 2 y0及2 y0,xxC4, xN42 y E .解得xE2 yExEyC2,yN2xExE2yE2 yE故 OG OG44222 yExE 2 yExE2 yE xE2 yExE122 .2xE4 yE因为点 E 在双曲线 x 2y21上, 有 xE24 yE24.4123.所以 OG OH4 yE2xE2解法二：设 E( xE , y E ) ，由方程组得x1 x4 y1 y 4,x2 x4y2 y4,解得 xE4( y2y1 ) , y Ex1x2,x1 y2x2 y1x1 y2x2 y1故直线 MN 的方程为 yy1xE( xx1 ).4 yE注意到 x1 xE 4y1 yE4, 因此直线 MN 的方程为 xE x 4 yE y4 ，下同解法一 .