胡寿松自动控制原理课后习题答案[沐风教育].doc

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1、1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。2 请说明自动控制系统的基本组成部分。解： 作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成： 被控对象： 所谓被控对象就是整个控制系统

2、的控制对象； 执行部件： 根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。 给定元件： 给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）； 比较元件： 把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。 测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等； 放大元件： 将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。如电压偏差信号，可用

3、电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。 校正元件： 亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：

4、结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。4 请说明自动控制系统的基本性能要求。解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。 （2）准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。（3）快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统

5、的动态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。图2-1 习题2-1 质量弹簧摩擦系统示意图2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中为黏性摩擦系数，为弹簧系数，系统的输入量为力，系统的输出量为质量的位移。试列出系统的输入输出微分方程。解：显然，系统的摩擦力为，弹簧力为，根据牛顿第二运动定律有移项整理，得系统的微分方程为图2-2 习题2-2 机械系统示意图2-2 试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得整理得2-3 求下

6、列函数的拉氏变换。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2-4 求下列函数的拉氏反变换（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2-5 试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容上的电压为，电容上的电压为，以此类推）。 图2-3 习题2-5 无源网络示意图解：（a）设电容上电压为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为整理得输入输出关系的微分方程为（b）设电容、上电压为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为整理得输入输出关系的微分方程为（c）设电阻上电压为，两电容上电压为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为 （1） （2） （3） （4）（2）代入（4）并整理得 （5）（1）、（2）代入（3）并整理得两端

7、取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为2-6 求图2-4中各无源网络的传递函数。 图2-4 习题2-6示意图解：（a）由图得 （1） （2）（2）代入（1），整理得传递函数为（b）由图得 （1） （2） 整理得传递函数为（c）由图得 （1） （2） （3） （4）整理得传递函数为图2-5 习题2-7 无源网络示意图2-7 求图2-5中无源网络的传递函数。解：由图得整理得2-8 试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数和。解：（a）求传递函数，按下列步骤简化结构图：图2-6 习题2-8 系统结构图示意图 令，利用反馈运算简化如图2-8a所示图2-8a 串联等效如图2-8b所示

8、 图2-8b根据反馈运算可得传递函数求传递函数，按下列步骤简化结构图：令，重画系统结构图如图2-8c所示 图2-8c 将输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示 图2-9d和串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示 图2-8e串并联合并如图2-8f所示图2-8f根据反馈和串联运算，得传递函数（b）求传递函数，按下列步骤简化结构图：将的引出端前移如图2-8g所示 图2-8g合并反馈、串联如图2-8h所示 图2-8h 将的引出端前移如图2-8i所示 图2-8i 合并反馈及串联如图2-8j所示 图2-8j根据反馈运算得传递函数图2-7 习题2-9 系统结构图示意图习题2-4 无源网络示

9、意图2-9 试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数。解：求传递函数，按下列步骤简化结构图： 将的引出端前移如图2-9a所示 图2-9a 合并反馈及串联如图2-9b所示 图2-9b 合并反馈、串联如图2-9c所示 图2-9c根据反馈运算，得传递函数2-10 根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数和。解：（a）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10a所示。 图2-10a（1）令，求系统传递函数 由信号流图2-10a可见，从源节点到阱节点之间，

10、有一条前向通路，其增益为有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为，与互不接触流图特征式由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为（2）令，求系统传递函数?由信号流图2-10a可见，从源节点到阱节点之间，有两条前向通路，其增益为，有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为，没有互不接触的回路，所以流图特征式为由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式，根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为（b）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示

11、。 图2-10b求系统传递函数由信号流图2-10b可见，从源节点到阱节点之间，有一条前向通路，其增益为有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为，与互不接触流图特征式为由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式 根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为2-11 根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数。解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-11a所示 图2-11a由信号流图2-11a可见，从源节点到阱节点之间，有一条前向通路，其增益为有三个相互

12、接触的单独回路，其回路增益分别为，没有互不接触回路。因此，流图特征式由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为3-2 已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：（1）；（2）；（3）。 解：（1）（2） （3）3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为，试求系统的超调量，峰值时间和调节时间。解： 由上式可知，此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为所以有 解上述方程组，得所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下 超调量 峰值时间 调节时间 3-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为，试

13、求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解题过程：由题意可得系统得闭环传递函数为其中。这是一个比例微分控制二阶系统。 比例微分控制二阶系统的单位阶跃响应为 故显然有 此系统得动态性能指标为 峰值时间 超调量 调节时间 3-5 已知控制系统的单位阶跃响应为，试确定系统的阻尼比和自然频率。解： 系统的单位脉冲响应为系统的闭环传递函数为自然频率 阻尼比 3-6 已知系统特征方程为，试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。解：先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判

14、定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则 显然，此系统不稳定。3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数为，试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。解： 由题得，特征方程是列劳斯表由题意，令所在行为零得由行得 解之得 ，所以振荡角频率为 3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为，试确定系统稳定时的值范围。解：由题可知系统的特征方程为列劳斯表如下 由劳斯稳定判据可得解上述方程组可得 3-9系统结构如图3-1所示，定义误差，(1) 若希望图a中，系统所有的特征根位于平面上的左侧，且阻尼比为0.5，求满足条件的的取值范围。(2) 求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差

15、。(3) 为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示，试求出合适的值。 (a) (b)图3-1 习题3-9 示意图 解：（1）闭环传递函数为 即，代入上式得，列出劳斯表， (2) ，系统为I型系统 (3)并没有改变系统的稳定性。3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数： （1）；（2）试求输入分别为和时，系统的稳态误差。解：（1）由上式可知，该系统是型系统，且。型系统在信号作用下的稳态误差分别为：。根据线性叠加原理有该系统在输入为时的稳态误差为，该系统在输入为时的稳态误差为 （2） 由上式可知，该系统是型系统，且。型系统在信号作用下的稳态误差分别为：。根据线性叠加原理有该

16、系统在输入为时的稳态误差为，该系统在输入为时的稳态误差为3-11已知闭环传递函数的一般形式为误差定义为。试证，（1） 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为（3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件 （4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系解：（1） 满足终值定理的条件， 即证 （2） 满足终值定理的条件， 即证(3) 对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为同理可证（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为：（1）；（2）；（3）试求位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系

17、数。解：（1） 此系统是一个型系统，且。故查表可得，（2） 根据误差系数的定义式可得 （3） 根据误差系数的定义式可得3-13设单位反馈系统的开环传递函数 输入信号为 其中, , , i, , 均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差, 其中, 试求系统各参数满足的条件。解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为式中，,为系统的开环增益，各参数满足： , 即稳定条件为 由于本例是I型系统，其, ,故在作用下，其稳态误差 必有 于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为 3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为

18、时，系统的稳态误差。 解：系统的误差传递函数为所以有对上式进行拉氏反变换可得 （1）当时，显然有 将上述三式代入（1）式，可得系统的稳态误差为 3-15 假设可用传送函数描述温度计的特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的的数值。如果给容器加热，使水温依的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大?解：由题意，该一阶系统得调整时间，但，所以。系统输入为，可推得因此可得 的稳态分量为稳态误差为 所以，稳态误差为3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差在输入端定义，扰动输入.(1) 试求时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。(2) 若, 其结果又如何？(3) 在

19、扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节，对其结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节，对其结果又有何影响？ 图3-2 习题 3-16 示意图解：令 ，则 代入 得 令，得扰动作用下的输出表达式： 此时的误差表达式为：若在s 右半平面上解析，则有 在扰动输入下的稳态输出为 代入的表达式，可得 （1） 当时，（2） 当时， 可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。（3） 若加在扰动之前，则 得 若加在扰动之后，则 可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。3-17 设随动系统的微分方程为： 其中，为系统输出

20、量，为系统输入量，为电动机机电时间常数，为电动机电磁时间常数，为系统开环增益。初始条件全部为零，试讨论：（1） 、与之间关系对系统稳定性的影响（2） 当, , 时，可否忽略的影响？在什么影响下的影响可以忽略？解：（1）对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程 当 均为正值时，且有 即 时 闭环系统稳定。（2）由于，因此只有当 闭环系统才稳定，显然，对于, 闭环不稳定。此时若略去, 闭环特征方程为 上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果 。如果，则略去不会影响闭环稳定性。 对于本例，当时，不能忽略对稳定性的影响，否则可以忽略。3-18 设计题飞机的自动控

21、制，是一个需要多变量反馈方式的例子。在该系统中，飞机的飞行姿态由三组翼面决定，分别是：升降舵，方向舵和副翼，如附图3-3(a)所示。飞行员通过操纵这三组翼面，可以使飞机按照既定的路线飞行。这里所要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统，它通过调节副翼表面来控制倾角，只要使副翼表面产生一个的变形，气压在这些表面上会产生一个扭矩，使飞机产生侧滚。图3-3（a） 飞机副翼模型图飞机副翼是由液压操纵杆来控制的，后者的传递函数为。测量实际的倾角，并与输入设定值进行比较，其差值被用来驱动液压操纵杆，而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。为简单化起见，这里假定飞机的侧滚运动与其他运动无关，其结构图如图3

22、-3(b)所示，又假定，且角速率由速率陀螺将其值进行反馈，期望的阶跃响应的超调量，调节时间(以的标准)，试选择合适的和值。图3-3（b） 飞机控制倾角结构图解：由于过阻尼响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统，在本题中欠阻尼因此，计算可得又因，由题计算可得，故图4-1 习题4-1系统零极点分布图4-1 已知系统开环零极点分布如图4-1所示，试绘制相应的根轨迹图。解：图4-1a根轨迹图（a）根轨迹的渐近线条数为（b）根轨迹的渐近线条数为（c）根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾斜角为，（d）根轨迹的渐近线条数为（e）根轨迹的渐近线条数为（f）根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾斜角为4-2 已知单位反馈控

23、制系统的前向通道传递函数为：(1) (2) (3) (4) ，画出各系统的根轨迹图。解：（1）按下列步骤绘制根轨迹： 系统开环有限零点为；开环有限极点为实轴上的根轨迹区间为根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为，渐近线与实轴的交点为闭环系统根轨迹如下图4-2a所示 图4-2a 闭环系统根轨迹图（2）按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为实轴上的根轨迹区间为根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为，渐近线与实轴的交点为分离点方程为解得分离点闭环系统根轨迹如下图4-2b所示 图4-2b（3）按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为 实轴上根轨迹区间为 根轨迹的渐近线

24、条数为，根轨迹的起始角：复数开环有限极点处，分离点方程为解得分离点检查时，时，皆为闭环系统根轨迹的分离点。确定根轨迹与虚轴的交点：系统闭环特征方程为列写劳斯表当时，劳斯表出现全零行，辅助方程为解得根轨迹与虚轴交点为。根轨迹如下图4-2c所示： 图4-2c（4）按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为；开环有限极点为，实轴上根轨迹区间为根轨迹的渐近线条数为，分离点方程为解得分离点根轨迹如下图4-2d所示： 图4-2d图4-2 习题4-3系统零极点分布图4-3 给定系统如图4-2所示，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。解：（1）作系统的根轨迹。开环传递函数为开环极点为和，开环零点

25、为和。所以实轴上的根轨迹区间为和。分离点方程得分离点检查时，时，可得到根轨迹如下图4-3a所示 图4-3a（2）分析增益对阻尼特性的影响。从根轨迹图可以看出，对于任意，闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同。增益较小时（）系统过阻尼；增益很大时（），系统过阻尼；增益中等时（），系统欠阻尼。图4-3 习题4-4系统结构图4-4 给定控制系统如图4-3所示， ，试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于。解：（1）求系统的闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数因为可变参数不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程改写

26、为即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为的系统的闭环特征方程。（2）根据作出根轨迹图。有两个极点，一个零点，所以负实轴是根轨迹，而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为由可以求得，其中在根轨迹上，对应增益为，故是实轴上的分离点。根轨迹如图4-4a所示。 图4-4a（3）求反馈增益。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表，则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由可得。设列出该点对应的辐角条件经整理得两边同取正切，整理得解得，。所以该闭环极点为。再由得速度反馈增益为。4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为：。要求系统的闭环极点有一对共轭复数极点，其阻尼比为。试确定开环增益，并近似分析系统的时域性能。解

27、：根据绘制常规根轨迹的基本法则，作系统的概略根轨迹如图4-5a所示。 图4-5a欲确定，需先确定共轭复极点。设复极点为根据阻尼比的要求，应保证在图上作的阻尼线，并得到初始试探点的横坐标，由此求得纵坐标。在处检查相角条件不满足相角条件；修正，则，点处的相角为；再取，则，点处的相角为。因此共轭复极点。由模值条件求得运用综合除法求得另一闭环极点为。共轭复极点的实部与实极点的实部之比为，因此可视共轭复极点为系统的主导极点，系统的闭环传递函数可近似表示为并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能4-6 已知单位反馈系统的开环传递函数为：试画出系统的根轨迹图，并分析系统的稳定时K的取值范围。解：由题得开环

28、极点：和开环零点：分离、会合点：从平面的零点、极点分布可知在区间内可能有分离、会合点。记由，可得经整理后得到用试探法或程序算得区间内的一个根为，它就是实轴上的分离点。根轨迹自复数极点的出射角：根轨迹趋向复数零点的入射角：根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为令，可得由第二式得，代入第一式，得 解得根据以上数据画根轨迹图，如图4-6a所示。 图4-6a 根轨迹图再分析系统得稳定情况：根轨迹与虚轴第一个交点的频率为 ，利用幅值条件可以计算出对应的增益同样可以算得与和对应的增益参看根轨迹图可知：系统稳定时的取值范围为：或4-7 已知单位反馈系统的开环传递函数为：的变化范围是，试画出系统的根轨迹图。解：按

29、下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为实轴上的根轨迹区间为根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为，渐近线与实轴的交点为 分离点方程为 解得分离点闭环系统根轨迹如下图4-7a所示 图4-7a4-8 已知反馈控制系统的开环传递函数为：试画出和同时变化的根轨迹簇。解：（1）列写闭环特征方程。闭环特征方程为（2）画，从到的根轨迹。时闭环特征方程为。这相当于一个开环传递函数为的系统。它的根轨迹是与虚轴重合的直线。见图4-8a中由圆圈构成的根轨迹。（3）画为常数，从到的根轨迹。给定，则闭环特征方程为它相当于一个开环传递函数为的系统，该系统的开环极点为，开环零点为。图4-8a中不带圆圈的根轨

30、迹是时的根轨迹。 图4-8a4-9 已知单位反馈系统的开环传递函数为：的变化范围是，试画出系统的闭环根轨迹。解：系统闭环特征方程为 即有等效开环传递函数为，变化范围为按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数：（1）等效系统无开环有限零点；开环有限极点为：（2）实轴上的根轨迹区间为（3）根轨迹有3条渐近线，且（4）根轨迹的分离点：由分离点方程 解得（5）根轨迹与虚轴的交点：根据闭环特征方程列写劳斯表如下： 当时，劳斯表的行元素全为零，辅助方程为解得绘制系统参数根轨迹如图4-9a所示 图4-9a4-10 已知反馈控制系统中，其开环传递函数为：(1) 绘制时的闭环根轨迹概略图；(2) 绘制时

31、的闭环根轨迹概略图；(3) 比较开环零点变化对根轨迹形状的影响。解：（1）开环传递函数按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为；开环有限极点为，实轴上的根轨迹区间为根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为，渐近线与实轴的交点为闭环系统根轨迹如下图4-10a所示 图4-10a根轨迹图（2）开环传递函数按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为，；开环有限极点为，实轴上的根轨迹区间为 和 根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为，渐近线与实轴的交点为闭环系统根轨迹如下图4-10b所示 图4-10b根轨迹图4-11 给定控制系统的开环传递函数为：试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分取何值时闭环系统稳定。解

32、：（1）求系统的闭环特征方程并化成标准的形式。因为可变参数不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程可改写为则开环传递函数为（2）根据作系统的根轨迹。中的增益为负值，所以要作系统的补根轨迹。开环极点为和，开环零点为。按照补根轨迹的作图规则，实轴上的根轨迹区间为和。在 区间有会合点，在有分离点。为求分离、会合点，将闭环特征方程改写为由，得，解得，分别对应的增益为和，所以是分离、会合点。可以证明，不在实轴上的根轨迹是一个圆，圆心在，半径为。以为参变量的根轨迹如图4-11a所示， 图4-11a图中箭头表示从到的方向，也即从到的方向。（3）求使闭环系统稳定的取值范围。首先求根轨迹与虚轴的交点

33、。由闭环特征方程可知，时系统处于临界稳定状态，这相当于，所以使闭环系统稳定的范围为。4-12 实系参数多项式函数为：欲使的根均为实数，试确定参数的范围。解：对作等效变换得等效开环函数为当时，需绘制常规根轨迹：系统开环有限零点为；开环有限极点为，实轴上的根轨迹区间为和根轨迹有2条渐近线，且；由分离点方程在实轴区间内用试探法求得。绘制根轨迹图，如图4-12a所示。当时，需绘制零度根轨迹。实轴上，零度根轨迹区间为(-,-3，-2,-1和0,+。作零度根轨迹图，如图4-12b所示。当多项式有根时，根据模值条件得根据常规根轨迹图，知当时，多项式的根皆为实数；根据零度根轨迹图，知当时，多项式的根亦全为实数

34、。因此所求参数的范围为。 图4-12a 常规根轨迹 图4-12b 零度根轨迹4-13 设系统开环传递函数为：(1) 大致画出系统的根轨迹图；(2) 用文字说明当时，如何求系统单位阶跃响应的超调量，峰值时间及调节时间。解：（1）绘根轨迹图渐近线：分离点：由，得相应的根轨迹增益根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程列劳斯表当时，劳斯表出现全零行，由辅助方程得根轨迹与虚轴交点处为根轨迹图如下图4-13a所示： 图4-13a（2）求动态性能指标当时，系统，闭环有两个实主导极点和，且，因此求得调节时间如下：当时，闭环系统有一对共轭复极点，则由于因此 4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为：试画出系统根轨迹图

35、，并求出系统具有最小阻尼比时的闭环极点和对应的增益。解：系统在实轴上的根轨迹区域为和在这两段区域内，均存在分离点。为了求出分离点，令求出 因而复数根轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，如图4-14a所示 图4-14a在图上，过原点作圆得切线，得最小阻尼比线。由根轨迹图知，对于等腰直角三角形，必有，故最小阻尼比响应的闭环极点由根轨迹模值条件，可求出相应的增益为4-15 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：试按照步骤作出时的根轨迹图。解：开环极点：根轨迹在实轴上的区间根轨迹的渐近线分离点： 即 整理得 为了求取分离点方程的根，将上式表示为令等效开环传递函数为其中。若令从变到，其根轨迹如图4-15a所示

36、。图中，渐近线图4-15a；分离点。在图上，试探，检验模值条件 故符合要求，故为分离点方程的一个根。利用综合除法，有求得分离点分离角为根轨迹的起始角根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为列劳斯表显然，当时，根轨迹和虚轴相交，由辅助方程 求得交点处根据以上步骤，绘制系统根轨迹图4-15b 图4-15b 根轨迹图4-16 设某单位负反馈系统的开环传递函数为：(1) 绘制从时系统的根轨迹图；(2) 求系统阶跃响应中含有时的值范围，其中；(3) 求系统有一个闭环极点为时的闭环传递函数。解：绘制根轨迹图闭环特征方程为 写成根轨迹方程形式为： 令等效开环传递函数为实轴上根轨迹：分离点：由求得与虚轴交点：列劳斯

37、表显然，当时系统处于临界稳定，由辅助方程并代入，解出交点处分离点处根轨迹增益：由模值条件得：绘出系统根轨迹如图4-16a所示 图4-16a（2）求值范围当系统阶跃响应含有分量时，系统处于欠阻尼状态，系统有一对具有负实部的共轭极点，值范围为（3）求闭环传递函数当系统具有闭环极点时，由模值条件，其对应的值为于是 闭环传递函数为 5-1 设系统闭环稳定，闭环传递函数为，试根据频率特性的定义证明，输入为余弦函数时，系统的稳态输出为解：由题目可得对等式两边同时进行拉氏变换可得由于系统闭环稳定，所以不存在正实部的极点。假设可表示为如下表达式由以上分析可得，系统的闭环传递函数为对上述闭环传递函数作如下分解对

38、上式等式两边进行拉氏反变换可得由系统稳态输出的定义可得利用留数法确定待定的系数所以可得 5-2 若系统阶跃响应为：试确定系统频率特性解：单位阶跃输入信号的拉氏变换为系统单位阶跃响应的拉氏变换为 系统的闭环传递函数为将代入传递函数可得 5-3 设系统结构图如图5-1所示，试确定输入信号图5-1 习题5-3控制系统结构图作用下，系统的稳态误差。解：如图5-1所示，系统的误差传递函数为1： 备注：为什么稳态误差？其幅频特性和相频特性分别为当时 5-4已知系统开环传递函数； 试分析并绘制和情况下的概略幅相曲线。解：由题可知，系统的频率特性如下 由于系统，所以开环幅相曲线要用虚线补画的半径为无穷大的圆弧 当时， 当时，又由于，所以有当时，开环幅相曲线始终处于第三象限，如图5-4a所示