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1、一元二次方程的解法,2.2,2.2.1 配方法,如何解本章2.1节“动脑筋” 中的方程 ： x2-2500=0 ？,把方程写成 x2= 2500.,这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x = 或 x = ，,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.,对于实际问题中的方程而言，x2 =-50 不合题意， 应当舍去而 =50符合题意，因此该圆的半径为50cm.,举 例,例1,解方程：4x2 -25 = 0.,因此， 原方程的根为,4x2 -25 = 0.,如何解方程(1+x) 2=81?,若把1+x看作一个整体，则由(1+x)2=81， 得1+x= 或1+x= ， 即1+x=9或1+
2、x=-9 解得 =8， =-10.,例2,解方程：（2x + 1）2 = 2.,举 例,（2x + 1）2 = 2,因此，原方程的根为,（2x + 1）2 = 2,通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.,解方程：,（1） ；,所以,因此，原方程的根为,（2） ；,因此，原方程的根为,（3）,因此，原方程的根为,所以 或,（4）,因此，原方程的根为,所以,所以,即长方形田的宽是30步，长是60步.,所以,我们已经知道，如果能把方程写成 = d（d 0）的形式， 那么就可 以根据平方根的意义来求解.,因此，需要在方程的左边加上一次项系 数的一半的平方，即加上 ；为了使等 式仍然成
3、立，应当再减去 . 为此，把方程 写成：,因此， 有 即,根据平方根的意义， 得 或,解得,可以将“2”换 成其他数的平方吗？,配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了这样解一元二次方程的方法叫作配方法,配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.,一般地，像上面这样，在方程 的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.,举 例,例3 用配方法解下列方程：,（1） + 10 x + 9 = 0；,（2） -12x -13 = 0.,（1） + 10 x + 9 = 0；,（2） -12x -1
4、3 = 0.,（1） + 10 x + 9 = 0；,由此得 x + 5 = 4 或 x + 5 = -4，,解得,因此,（2） -12x -13 = 0.,因此,由此得 或,解得,1.填空：,（1）x2+4x+1=x2+4x+ - +1 =(x+ )2- ；,（2）x2-8x-9=x2-8x+ - -9 =(x- )2- ；,（3）x2+3x-4=x2+3x+ - -4 =(x+ )2- .,4,4,2,3,16,16,4,25,2.用配方法解下列方程：,（1）x2+4x+3=0； （2）x2+8x-9=0； （3）x2+8x-2=0； （4） x2-5x-6=0.,（1） x2+4x+3=
5、0；,解得 ，,由此得出 x+3=0 或 x+1 =0.,（2） x2+8x-9=0；,解 把原方程的左边配方，得 (x+4)2-25= 0，,把方程左边因式分解，得 (x+4+5)(x+4-5)=0.,由此得出 x+9=0 或 x-1=0.,解得 ，,解 把原方程的左边配方，得 (x+4)2-18= 0，,（3） x2+8x2=0；,把方程左边因式分解，得 (x+4+ )(x+4- )=0.,由此得出 x+4+ =0 或x+4- =0.,解得 ，,即,（4） x2-5x-6=0.,解得 ，,解 把原方程的左边配方，得,把方程左边因式分解，得,由此得出 或,如果二次项系数为1，那就好办了!,配
6、方， 得,因此,由此得 或,解得,对于实际问题的方程而言， 不合题意，应当舍去. 而 符合题意，因此年平均增长率为 20 %.,举 例,例4 用配方法解方程： 4x2 -12x -1 = 0.,由此得 或,配方， 得,因此,解得,解方程：,因为在实数范围内任 何实数的平方都是非负数. 因此， 不成立， 即原方程无实数根.,将上述方程的二次项系数化为1，得 将其配方得 即,用配方法解下列方程：,（1） 2x2=3x -1； （2）3x2 +2x -3 =0；,（3） 4x2 -x -9 =0； （4）-x2+4x -12 =0.,（1） 2x2=3x -1；,方程两边同除以2，得,把方程左边配方得,由此得出,解得 ,（2）3x2 +2x -3 =0 ；,把方程左边配方，得,由此得出 .,解得 ，,（3） 4x2 -x -9 =0；,把方程左边配方，得,由此得出,解得,（4）-x2+4x -12 =0 .,配方，得,所以此方程无解.,C,例2,用配方法解方程2x2 -4x+1=0.,例3,A,结 束,