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1、二面角的求法,从一条直线出发的两个半,一、二面角的定义,平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,二面角,二面角的平面角必须满足：,注意：,二面角的范围：,二、二面角平面角的定义,在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA、OB则AOB叫做二面角 的平面角。,二面角,1、传统法,A,B,A,B,定义法,三垂线定理法,垂面法,三、二面角的求法,传统法求二面角步骤：,二面角的平面角的作法：,二面角,作图,证明,计算,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角
2、的大小为 ，其中,D,C,B,A,方向向量法：,2、向量法求二面角,二面角,法向量法,二面角,注意：求出了两法向量的夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小。,法向量法求二面角的步骤：,1.建立适当空间直角坐标系，写出相关点的坐标,2.求出二面角两个半平面的法向量,3.求出两个法向量的夹角,4.判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关 系，是相等还是互补,例1.如图，已知正四面体A-BCD（各条棱都相等） 求二面角C-AB-D的余弦值大小,A,B,C,解：,M,过O点作OEAB于E点，连PE,O为 AC 中点， ABC=90,在RtPOE中， OE
3、 ，PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值为,例2如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。,由三垂线定理可知ABPE PEO就是二面角P-AB-C 的平面角,在RtPBE中，BE ，PB=1，PE,解：,二面角,OEBC且 OE BC=,C1,B,A,C,A1,B1,例3 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a，D为CC1中点，求：平面A1BD与平面ABC所成二面角的大小。,分析：面ABD与面ABC在图中只有一个公共点，由公理保证，它们必有一条经过点的公共直线，即二面角的棱。,思路
4、：延长A1D，AC，交于E点，连结BE，则BE是面A1BD与面ABC所成二面角的棱。,易证BE 面A1B，可知A1BA是所求二面角的平面角， 从而得出二面角的大小是45 。,E,F,过C点作CF 于点连接则CFD就是二面角的 平面角。CF=CD则CFD= 45,解法1（传统法）,C1,B,A,C,A1,B1,解法2（向量法）,设平面,C1,B,A,C,A1,B1,O,注意: 法向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系， 以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。,例4 （2010陕西卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA底面ABCD， BC= E、F分别是AD和P
5、C的中点，求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小。,D,P,设平面,解：,F,E,练 习,二面角,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点,求二面角ABD1P的大小.,解法1（传统法）,D,A,C,B,D1,A1,C1,B1,F,E,P,过P点作PE AD1于E点，过E点作EFBD1于F点，连结EF。,AB面AA1D1D AB PE PE ABD1由三垂线定理可知BD1 PF PFE就是二面角A-BD1-P的平面角,积变换,D,A,C,B,D1,A1,C1,B1,P,解法2（法向量法）,设平面,设平面,小 结,二面角,二面角,二面角,1. 求二面角有两种方法：传统法、向量法。两种方法千秋,2.传统法求二面角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算。作（找）出所求的角是计算的基础。二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找.最后，一般通过解三角形求出角的大小。,3.向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容 易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。,二面角,课后作业,1.如图所示，,第1题,2.如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形，求二面角BACD余弦值的大小.,A,C,M,B,D,N,