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1、课时分层作业 (十九 )最大值与最小值(建议用时： 45 分钟 )基础达标练 一、填空题1已知函数 f(x) x33x，|x|1，f(x)的最小值为 _【解析】f(x) 3x2 3 3(x1)(x1)，当 x 1,1时，f(x)0，所以 f(x)在 1,1上是单调递减函数， f(x)的最小值为 f(1) 2.【答案】2x2函数 y ex在0,2 上的最大值是 _.【导学号： 95902240】【解析】由 f(x)x1x时， ( ，f(x)单调递增，x得(x ，当 efx)ex 0,1f x) 0当 x (1,2时， f(x)0，f(x)单调递减， 当 x1 时，函数取得最大值f(1)1 e.【
2、答案】1e函数 ， sin x的最大值是 _3yxx2【解析】因为 y1cos x，当 x在区间， ， 2时，y0，则函数 y2上为增函数，所以 y 的最大值为 ysin.max【答案】函数f(x)1 x(x 1,3) 的值域为 _4x1【解析】f(x)1x2 2x(0恒成立，x121 x 12，所以在 1,3 上 f x)第 1页133即 f(x)在 1,3 上单调递增，所以f(x)的最大值是 f(3) 4 ，最小值是 f(1)2.313故函数 f(x)的值域为 2， 4 .313【答案】2，4已知函数 x22x 3 在区间 a,2上的最大值为 15，则 a 等于 _.5y4【导学号： 95
3、902241】【解析】由已知 y 2x2，令 y 0，解得 x 1；函数在 (， 1)上是单调递增；在 (1， )上是单调递减215若 a 1，则最大值为f(a) a 2a3 4 ，1 3解得 a 2 a 2舍去 .151若 a 1，则最大值为 f(1) 1234 4 ，综上， a 2.1【答案】2函数1 2ln x 的最小值为 _6f(x)2xf(x) x1x21令 f(x)0.令 f(x)0，得 x1;x110x1.f(x)在 x 1 处取得极小值也是最小值，且f(1)2ln 12.【答案】127下列结论：在区间 a， b 上，函数的极大值就是最大值；在区间 a， b 上，函数的极小值就是
4、最小值；在区间 a， b 上，函数的最大值、最小值在xa 和 xb 时达到；在区间 a， b 上的连续函数 f(x)在a，b上必有最大值和最小值其中正确的是 _(填序号 )第 2页【解析】因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值， 最值不一定在区间端点取到，所以 都不正确，而连续函数 f(x)在a，b 上必有最大值和最小值，所以正确【答案】a8已知函数 f(x) x22ln x，若当 a0 时， f(x) 2 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _.【导学号： 95902242】【解析】a得 (2 x2a的定义域为，由 f(x)22ln x3，又函数f(x)xf x
5、)x(0 )，且 a0，令 f(x)0，得 xa(舍去 )或 xa.当 0xa时，f(x)0；当 xa时，f(x) 0.故 xa是函数 f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(a) ln a1.要使 f(x) 2 恒成立，需 ln a12 恒成立，则 a e.【答案】e， )二、解答题9求函数 f(x) x33x，x 3，3的最大值和最小值【解】f(x) 3x2 3(x1)，令 ( ，得 1或x1.31)(xf x)0x当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 3( 3， 1)1( 1,1)1(1， 3)3f(x)00f(x)0220由上表可知：当 x1 时， f(x)取得最大
6、值， f(x)maxf(1)2.当 x 1 时， f(x)取得最小值， f(x)min f(1) 2.第 3页1x110已知函数 f(x) xkln x，k 0，求函数 f(x)在 e，e 上的最大值和最小值 .【导学号： 95902243】1xx1xkkx1【解】因 f(x) x klnx， f(x)x2x x2.11( ，若 k 0，则 f (x)2在，e 上恒有xef x)0f(x)在1，e 上单调递减 min1 emax1 ef(x)f(e)e， f(x)f ee 1.11若， (kx1k x k1k x kk0，则在， e上恒有0，f x)22ex2xx1f e11 e1f(x)在
7、e，e 上单调递减， f(x)minf(e)e kln e ek1，f(x)max ek1.1e综上，当 k0 时， f(x) mine ，f(x)maxe1；1当 k0 时， f(x)min ek 1， f(x)maxek1.能力提升练 已知24)(xa)若 f(1)0，函数 f(x)在 2,2上1a 为实数， f(x)(x的最大值为 _，最小值为 _【解析】由原式可得 f(x)x3 24x， (2 由 (ax4a f x)3x2ax 4. f 1)131 22 0 得 a2，此时 f(x)x 2x 4x2，f(x)3xx4.令 f(x)0，得 x 14或 x3.9450又 f( 1)2，f
8、 3 27，f(2)f(2) 0，950所以函数 f(x)在 2,2上的最大值为2，最小值为27.第 4页9 50【答案】 2 272已知函数 f(x)的定义域为 1,5，部分对应值如下表， f(x)的导函数 y f(x)的图象如图 3-3-10 所示x10245f(x)121.521图 3-3-10下列关于函数 f(x)的命题：函数 f(x)的值域为 1,2 ；函数 f(x)在0,2 上是减函数；如果当 x 1，t 时，函数 f(x)的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4；当 1a 2 时，函数 yf(x)a 最多有 4 个零点其中正确命题的序号是 _.【导学号： 95902244】【解析
9、】由导函数的图象可知，当1x0 或 2 x4 时， f(x)0，函数 f(x)单调递增，当 0 x2 和 4x5 时，f(x) 0，函数 f(x)单调递减， 当 x0 和 x 4 时，函数 f(x)取得极大值 f(0) 2，f(4)2，当 x2 时，函数 f(x)取得极小值 f(2)1.5，又 f(1)f(5) 1，所以函数 f(x)的最大值为 2，最小值为 1，值域为 1,2 ，正确， 正确；要使 x 1， t时，函数 f(x)的最大值是 2，则 0t5，所以 t 的最大值为 5，所以 不正确；因为函数 f(x)的极小值为 f(2)1.5，极大值为 f(0)f(4)2.所以当 1a2 时，函
10、数 y f(x) a 最多有 4 个零点，所以 正确【答案】3设函数 f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的 x (0,1都有 f(x)0 成立，第 5页则实数 a 的取值范围为 _3131【解析】因为 x(0,1 ，所以 f(x)0 可化为 ax2x3.设 g(x)x2x3，则g(x)3 12x.4x111令 g(x)0，得 x 2.当 0x2时， g(x)0；当2x1时， g(x) 0.1所以 g(x)在(0,1上有极大值 g2 4，它也是最大值，故 a 4.【答案】4， )4已知函数 f(x) xln x， g(x)x2ax.(1)求函数 f(x)在区间 t， t1(t0)上的最小值
11、 m(t)；(2)令 h(x) g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1 x2)是函数 h(x)图象上任h x1 h x2意两点，且满足1，求实数 a 的取值范围 .【导学号： 95902245】1【解】(1)f(x)1 x，x0，令 f(x)0，则 x1.当 t1 时， f(x)在t，t 1 上单调递增， f(x)的最小值为 f(t)tln t；当 0 t1 时，f(x)在区间 (t,1)上为减函数， 在区间 (1，t1)上为增函数， f(x)的最小值为 f(1)1.t ln t， t1，综上， m(t)1，0t1.(2)h(x)x2(a 1)x ln x，不妨取 0x1x2，则 x1 x20，h x1 h x2则由1，可得 h(x1)h(x2)x1x2，x1x2第 6页变形得 h(x1)x1h(x2)x2 恒成立令 F(x)h(x) xx2 (a2)xln x，x0，则 F(x)x2(a2)xln x 在(0， )上单调递增，1故 F(x)2x(a2) x 0 在(0， )上恒成立，1所以 2xxa2 在 (0， )上恒成立122，当且仅当 x2因为 2xx2 时取 “” ，所以 a 2 22.第 7页