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1、第3章 Z变换,第三章学习目标,掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法 会运用任意方法求z反变换 理解z变换的主要性质 理解z变换与Fourier变换的关系 掌握离散系统的系统函数和频率响应，因果/稳定系统的收敛域,3.1 Z变换的定义和收敛域,一. Z变换的定义,双边z变换,其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面称为z平面。,单边z变换,二Z变换的收敛域,1收敛域的定义：对任意给定序列x(n)，使其z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。,2. 收敛条件：,的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求,要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之
2、内才行，这个范围就是收敛域。,z平面上的收敛域一般可用环状域表示，即,Rx-|z|Rx+,收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域， Rx-和Rx+称为收敛半径。Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。,图3-1 环形收敛域,由于,，收敛域总是用极点限定其边界。,3z变换的零极点,（1）有限长序列:,三几种序列的收敛域,其z变换为,收敛域为,图3-2 有限长序列及其收敛域,（ 除外）,另外 ，由,可见，0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关， 如果n10，则收敛域不包括|z|=0； 如果n20，则收敛域不包括|z|=。 具体有限长序列的收敛域表示如下：,（1）求矩形序列的 z
3、变换,例题3-1,（2）求序列 的z变换,（2）右边序列:,其z变换为,其中：Rx-为收敛域的最小半径。,右边序列的收敛域,图3-3 右边序列及其收敛域 （n10， |z|=除外）,因果序列是最重要的一种右边序列（n1=0的右边序列），即,z变换收敛域包括|z|=是因果序列的特征。,其z变换级数中无z的正幂项，因此级数收敛域可以包括|z|=，即,例3-2 x(n)=anu(n), 求其z变换及收敛域。 ,|z|a|,这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|a|处收敛如图3-4所示。,解 这是一个因果序列，其z变换为,由于 ， 故在z=a处有一极点(用“” 表示)，收敛域为极点所在圆|z
4、|=|a|的外部。,图3-4 的收敛域,收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。所以，注意：右边序列的z变换如果有N个有限极点 存在，那么收敛域一定在模值最大的有限极点所在圆以外，也即 但在 处是否收敛，则需视序列存在的范围另外加以讨论。对于因果序列，处也不能有极点。,例题3-3,求 的Z变换及其收敛域。,（3）左边序列:,其z变换为,左边序列的收敛域,0|z|,0|z| Rx+,0 |z| Rx+,其中：Rx+为收敛域的最大半径。 注意：若 n2 0，收敛域包括|z|=0，即|z| Rx+,图3-5 左边序列及其收敛域 （n20，故 z=0除外）,例3-4： x(n)=-an
5、u(-n-1), 求其z变换及收敛域。 解： 这是一个左边序列。其z变换为,此等比级数在|a-1z|1，即|z|a|处收敛。 因此,序列z变换的收敛域如图2-6所示。函数 在z=a处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。,图2-6 的收敛域,注意1：左边序列的z变换如果有N个有限极点 存在，,注意2：z变换后，只给出z变换的闭合表达式是不够的,必须同时给出收敛域,才能唯一地确定一个序列。,那么收敛域一定在模值最小的有限极点所在圆之内，即,但在 处是否收敛,需视序列 存在的范围另外加以讨论。,例题3-5,求 的z变换及其收敛域。,双边序列指n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可以把它看
6、作一个左边序列和一个右边序列之和，即,（4）双边序列:,如果Rx-Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无收敛域,故不存在z变换的解析式。,|z|Rx+,Rx-|z|Rx+,|z|Rx-,图2-7 双边序列及收敛域,例题3-6,（1） ，a为实数， 求 的z变换及其收敛域。,（2）求序列 的z变换及其收敛域。,归纳,右序列的收敛域是：,左序列的收敛域是：,有限长序列的收敛域是：,双边序列的收敛域:,Z平面的全平面；,Z平面内某个圆的外部；,Z平面内某个圆的内部；,如果存在，是Z平面内环形区域。,定义:已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为z反变换，表示为,则,3.2 z反变换,
7、一、 z反变换的定义,2. z反变换的一般公式,若,图2-8 围线积分路径,积分路径c为环形解析域（即收敛域）内环绕原点的一条逆时针闭合单围线。,围线积分法（留数法）; 部分分式展开法; 幂级数展开法（长除法）.,二z反变换方法,直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上, 求z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求z反变换的常用方法有三种：,根据留数定理，若函数X(z)zn-1在围线c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有,留数法,其中： 表示函数X(z)zn-1在极点z=zk（c以内极点）上的留数。 表示函数X(z)zn-1在极点z=zm（c以外极点）上的留
8、数。,如何求X(z)zn-1在任一极点zk处的留数？ 1. 设zk是X(z)zn-1的单（一阶）极点，则有,2. 如果zk是X(z)zn-1的多重极点，如N阶极点，则有,(3-1),(3-2),注意：以上两式都可以用于计算z反变换，应根据具体情况来选择。例如， 如果当n大于某一值时，函数X(z)zn-1在围线的外部可能有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦，而通常选c的内部极点求留数则较简单。 如果当n小于某一值时，函数X(z)zn-1在围线的内部可能有多重极点，这时选用c外部的极点求留数就方便得多。,例3-7：已知,求z反变换。,解：,当n0时,在围线c以内有一个单极点z=a ；如
9、图2-9所示。应用公式(3-1)，则,当n0时，围线c以内有一个单极点z=a和一个-n阶极点,z=0，而在围线c外无极点，所以：,图2-9 收敛域|z|a|,注意：在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n0时出现的极点了， 因为它们的留数和一定总是零。,因此,即,例3-8 已知,求z反变换。,解,由于极点a处在围线c以外(见图2-13）， 当n0时围线c内无极点，因此 ；,而n0时围线c内有一个-n阶极点z=0；而围线c外有一个,单极点z=a，所以：,即,注意：在应用留数法时，收敛域是很重要的。 同一个函数X(z)，若收敛域不同，则对应的序列就完全不同.,例3-9：,
10、解：,F(z)在C内极点,由收敛域可确定是右序列，即,最后：,已知 ，求Z反变换。,解：,（1）,F(z)在C内极点,由收敛域可确定是右序列，即,最后：,F(z)在C内极点,F(z)在C内极点,改求C外极点留数， C外极点,由留数辅助定理：,（2）,最后，,部分分式展开法,部分分式展开法适合于单阶极点的情况,设X(z)只有N个一阶极点,收敛域,收敛域,例：,解：,已知 ，求Z反变换。,收敛域为|z|2,收敛域为|z|3,收敛域为2|z|3,幂级数展开法（长除法）,把X(z)展开成幂级数,级数的系数就是序列x(n),根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的
11、x(n) 展成z的 分子分母 按z的 右边序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,结论：在Z平面中单位圆上定义的序列Z变换即为序列的傅,3.3 Z变换与傅里叶变换的关系,Z变换表达式：,令,，代入上式得到：,当,时，,即,里叶变换。,Z在单位圆上取值,即z变换等效成序列的傅里叶变换,3.4 z变换的基本性质和定理,1. 线性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有:,ZTx(n)=X(z) Rx-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z) Ry-|z|R
12、y+ 那么对于任意常数a、b，z变换都能满足以下等式： ZTax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) R-|z|R+,注意：1）通常两序列和的z变换的收敛域为它们各自收敛域的公共区域，即 R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+) 2）如果线性组合中某些零点与极点相互抵消，则收敛域可能扩大。,2. 序列的移位(),式中：m为正为延迟(右移)， m为负为超前(左移)。,若序列x(n)的z变换为,则有,证明：,例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,解：,3. 乘以指数序列（z域尺度变换）,若,则,4. 序列的线性加权（z域求导数）,若已知,则,5. 共
13、轭序列,式中，符号“*”表示取共轭复数。,若,则,6. 翻褶序列,若,则,对于因果序列x(n)，即x(n)=0, n0, 有,7. 初值定理,8. 终值定理,设x(n)为因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位圆内，则,9. 序列的卷积和（时域卷积和定理）(),则,设,注意： 1）若时域为卷积和，则z变换域是相乘的关系； 2） 乘积Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被抵消，收敛域可扩大。,在线性移不变系统中，如果输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积;利用时域卷积和
14、定理，通过求出X(z)和H(z)，然后求出乘积X(z)H(z)的z反变换，从而可得y(n)。具体步骤如下：,时域卷积和定理的应用 求线性移不变系统输出响应,例 3-12： 设x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1) 求y(n)=x(n) * h(n) 。,解：,所以,其z反变换为,显然，在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果|b|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大。,图 2-14 Y(z)的零极点及收敛域,例题,1.已知 ， 的z变换，求 及 的z变换。 2.已知某因果序列 的z变换 求 的初值 和 及终值。,3.5
15、离散系统的系统函数，系统的频率响应,在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示，即,一、系统函数,取z变换,线性移不变系统的系统函数，单位冲激响应的z变换,1. 因果系统,二、因果稳定系统,单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统是因果系统，因果系统的系统函数H(z)具有包括z=点的收敛域，即,线性移不变系统是因果系统的充要条件是:,即因果系统的收敛域是半径为 的圆的外部，且必须包括|z|=在内。,z变换的收敛域由满足 的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1的系统是稳定的。,2. 稳定系统,线性移不变系统稳定的充要条
16、件是单位 冲激响应h(n)绝对可和:,因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个z域内收敛，即收敛域必须包括,也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。,3. 因果稳定系统,注意： 1）同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以给出系统函数时必须同时给定系统的收敛域才行。 2）对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。,例 已知系统函数为,2|z|,解： 系统函数H(z)有两个极点z1=0.5, z2=2。 从收敛域看，收敛域包括点，因此系统一定是因果系统。 但是单位圆不在收敛
17、域内，因此可以判定系统是不稳定的。,由于2nu(n)项是发散的， 可见系统确实是不稳定的。,求系统的单位脉冲响应及系统性质。,由系统函数的z反变换可得,例 系统函数不变， 但收敛域不同。,解： 收敛域包括单位圆但不包括点，因此系统是稳定但非因果的。,由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。,求系统的单位脉冲响应及系统性质。,由系统函数的z反变换可得,例题,已知,分析其因果性和稳定性。,设线性移不变系统是稳定的，输入复指数序列： 则系统的输出为:,三、系统频率响应的意义,1. 频率响应的定义,特征函数,特征值,系统单位冲激响应序列的傅里叶变换，称为系统的频率响应（或输出函数）,2.
18、线性移不变系统的频率响应H(ej)是以2为周期的连续周期函数, 是复函数。它可以写成模和相位的形式：,振幅响应 （幅度响应）,相位响应,3当系统输入为正弦序列，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。,4系统频率响应与系统函数的关系,在z平面单位圆上的系统函数就是系统的频率响应H(ej) ，即,5. 线性时不变系统在任意输入情况下，输入与输出两者的傅里叶变换间的关系:,线性时不变系统输出序列的傅氏变换等于输入序列傅氏变换与系统频率响应的乘积,四、无限长单位冲激响应(IIR)系统与有限长单位冲激响应(FIR)系统,根据离散时间系统
19、的单位冲激响应h(n)在时域中的长度可将系统分为两种类型： 当h(n)的长度为无限长时称为“无限长单位冲激响应系统”，简称为IIR系统。 当h(n)的长度为有限长时称为“有限长单位冲激响应系统”，简称为FIR系统。,通常可以根据系统函数的零极点来判断系统是IIR系统还是FIR系统。,N阶常系数线性差分方程的一般形式为,系统函数和差分方程的关系,取z变换,（起始状态为零）,从系统函数上看，一个N阶系统函数的一般表达式为：,FIR系统：H(z)在有限z平面上不能有极点,即ak=0 (k=1, ,N) 故：,由于此时H(z)在有限z平面不能有极点，只存在零点，因此又称为全零点系统，或称滑动平均系统（
20、MA系统）。,其输出仅与当前及以前的输入有关，不存在输出对输入的反馈，这种没有反馈回路的结构称为“非递归”结构。,N 阶系统函数：,IIR系统：H(z)在有限z平面上有极点,即至少有一个ak0。,分子只有常数项b0，则在有限z平面上只有极点，称为全极点系统或自回归系统(AR系统);,H(z)是有理函数，在有限z平面既有极点也有零点，称为零极点系统或自回归滑动平均系统（ARMA系统）。,输出不但与当前和以前的输入有关，还与以前的输出及其加权值有关，即系统中存在着输出对输入的反馈回路。这种带有反馈回路的结构常被称作为“递归型”结构。,单位冲激响应h(n)是无限长的； 系统函数H(z)在有限z平面（
21、 ）上有极点; 结构上存在着输出到输入的反馈, 即结构上是递归型的.,无限长单位冲激响应系统有如下几个特点：,有限长单位冲激响应系统有如下几个特点：,单位冲激响应h(n)是有限长的； 系统函数H(z)在有限z平面（ ）上没有极点; 结构上不存在着输出到输入的反馈，即结构上是非递归型的（采用零、极点抵消的办法，有时FIR系统中，也可以含有递归型的支路。 ）。,注意： 1）IIR系统：因为h(n)无限长，实际计算中即使x(n)已知，也无法通过卷积 ，求得系统的响应y(n)，只能用求解差分方程或z变换的方法求得y(n)。,2）FIR系统：因为h(n)有限长，若已知输入x(n)，可通过卷积直接算出输出
22、y(n)，也可用求解差分方程或z变换的方法求得y(n)。,例 设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定,设系统是因果的。 （1） 求该系统的单位脉冲响应； （2） 由(1)的结果，求输入 的响应。,解：（1） 对差分方程两端分别进行z变换可得,系统函数：,系统函数H(z)仅有一个极点，z1=1/2，因为系统是因果的，故H(z)的收敛域必须包含，所以收敛域为|z|1/2。该收敛域又包括单位圆，故系统是稳定的。,对系统函数H(z)进行z反变换，可得单位脉冲响应为,或：,（2）,系统的频率响应为,由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入 时，可得输出响应为,例：,解：,设系统差分方程为, 限定系统是因果的，求, 限定系统是稳定的，求,求：, 系统函数,零初始条件下对差分方程取Z变换：, 限定系统是因果的，即,右序列，,收敛域为, 限定系统是稳定的，,收敛域包含单位圆,改求c外极点留数，c外有一个极点：,个人观点供参考，欢迎讨论,