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1、3.2一维方势阱,求解 S 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数,一、一维无限深方势阱,粒子在阱内自由运动 不能到阱外,势函数,阱外,定态薛定谔方程 阱外：,阱内：,根据波函数的统计解释 阱外,阱内,(为了方便将波函数脚标去掉),令,将方程写成,通解,式中 A 和 B 是待定系数,由波函数标准条件和边界条件定特解 通解是,解的形式,解的形式为,能量取值,波函数的连续性。,B已经为零了 A不能再为零了 即 A0,只能sin ka 等于零,要求,故能量可能值,但,由上式,本征函数系,由归一化条件确定常数 A,本征函数,考虑到振
2、动因子,定态波函数,薛定谔方程的一般解：.,1、能量,每个可能的值叫能量本征值，束缚态粒子能量取值分立 (能级概念)。 能量量子化。,体系最低能量的态称为基态。其他态称为激发态。 基态能量不为零量子效应，,（1）、能量量子化,（2）、当n 趋于无穷时,能量趋于连续（对应原理）。,2、波函数,（1）驻波解。,波函数与横轴相交次数（不含两端）称为节点数，显然为n-1,（2）、一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,o,a,a,o,量子经典,符合玻尔对应原理,平均效应明显,3、若势阱为,对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的概率是不同的。,当 为偶数时， ，即 具有奇宇称。 当 为奇数时
3、， ，即 具有偶宇称。,本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： 而导致的。,由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：,第一、确定粒子势能表达式（有的问题直接给出）；,第二、写出定态薛定谔方程，引入参数，把方程化为标准的微分方程，写出通解；,第三、利用波函数满足的标准条件（单值、有限、连续），求能量本征值和本征函数。,第四、利用波函数的归一化条件，将波函数归一化。,二、一维有限深方势阱,势的特点：空间反射对称,写出分区定态方程,在阱外(经典禁介区),在阱内(经典允许区),令,方程(1)、（2）变为,有限性：,A2=0，C1=0。,令,V0时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。,V0时，结果与无限深势阱的奇宇称态能量一致。,三、一维半壁无限高方势阱,令,波函数的连续性。,波函数的有限性。,半壁无限深方势阱存在束缚定态。,