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1、1,第三节多目标规划模型,在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题.,我们面临的是一种充满竞争而又富于挑战的复杂环境。在这样的环境中，无论是高层制定战略规划或对策，中层对于经济建设或生产经营的管理，以及基层具体工作安排等，都不得不权衡各方利益，考虑多种决策目标，同时，还不得不面临国际、国内各种各样的风险，也就是说必须要以一种系统、全面的观念来做出决策。从这一意义上讲，多目标决策更符合现实情况，在决策中更具有普遍性，因此，对它的研究具有十分重要的现实意义。,2,对于车床齿轮变速箱的设计，提出了下列要求： 各齿轮体积总和f1(x)尽可能小
2、，使材料消耗减少， 降低成本； 2. 各传动轴间的中心距总和f2(x)尽可能小，使变速箱 结构紧凑； 3. 齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，使变速箱运转 噪声小； 4. 传动效率f4(x)尽可能高，亦即机械损耗率尽可能低， 以节省能源。 此外，该变速箱设计时需满足齿轮不根切、不干 涉等几何约束条件，还需满足轮齿强度等约束条 件，以及有关设计变量的非负约束条件等。,根据上述要求，可分别建立四个目标函数:,3,在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题. 一、引例 例 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿元的资金可用于投资，并由m
3、个项目 可供选择。如果对第 个项目投资的话，需用资金 亿元，并可获得收益 亿元，试确定最佳投资方案。,4,解：所谓最佳投资方案是指：投资最少；收益最大。 若令 目标函数为求： 投资最少： 收益最大： 约束函数为：,5,二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为，若有p个目标函数，则 称之为多目标规划问题的数学模型。,向量目标函数 多目标极小化数学模型用向量形式的简写,6,应当注意，在实际问题中，除所有目标函数都求最小值之外，还有其他情形存在，只要通过适当的变换，就可转化为上述情形，例如： （1）当所有目标函数都求最大值时，只须注意，求一个函数 的最大值可以转化为求这个函数的负函数 的最小值
4、，便知这时的数学模型可以转化为 （2）当对一部分目标函数求最小值，即其余目标求最大值时，不妨假定前 r个目标函数 都是求最小值；其余p-r个目标函数 都是求最大值；,7,而约束集合都是R，于是这时的数学模型便可转化为 这也是（VP）的形式。 （3）当对一部分目标函数求最小值，对另一部分目标求最大值时，而其余目标函数则要求限制在一定范围即可时，我们可以假定 都求最小值； 都为求最大值；其余 的限制为 ，其中诸 及 均为常数；而约束集合仍是R。这时只要我们令,8,便知这种情形的数学模型可以转化为 此外还要注意，由于 ，总可以写成 及 ，,9,多目标决策的特点 ： 决策问题的目标多于一个。 多目标决
5、策问题的目标间不可公度(non-commensurable)，即各目标没有统一的衡量标准或计量单位，因而难以进行比较。 各目标间的矛盾性。,多目标优化模型中，还有一类模型，其特点是，在约束条件下，各个目标函数不是等同地被优化，而是按不同的优先层次先后地进行优化。,10,非劣解,即有效解，或pareto最优解，往往不止一个。,是指若有m个目标，当要求m-1个目标值不变坏时，找不到一个x，使得另一个目标函数比f(x*)更好，则此解为非劣解。,11,多目标优化方法,主要方法有两大类： 一类是直接求出非劣解，然后从中选择好解，如合适等约束法等； 另一类是将多目标优化问题求解时作适当的处理，处理的方法有
6、两种：1将多目标优化问题重新构造一个函数，即评价函数，从而将多目标优化问题转化为求评价函数的单目标优化问题，如主要目标法，线性加权和法，理想点法，平均和加权法，极大值极小值法等；2将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题，如分层序列法。,12,多目标优化方法,13,14,15,16,17,三、建模举例 例2.10 投资收益和风险问题（这是全国大学生数学建模竞赛的A题）。市场上有 种资产（股票、债券、） 供投资者选择，某公司有数额为 的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务分析人员对 种资产进行评估，估算在这一时期内购买 有平均收益率为 ，并预测出购买 的损失率为 。考虑到投资分散，总
7、的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 中的最大一个风险来度量。,18,购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。 （1）已知n=4时的相关数据如下：,19,试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 （2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用以下数据进行计算。,20,21,22,1、 模型的假设及符号说明（1）模型的假设 在一个时期内所给出的 保
8、持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易费。,23,（2）符号说明M（元）：公司现有投资总金额；Si（i=0n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0表示存入银行）；xi（i=0n）：公司购买Si金额； ri（i=0n）：公司购买Si的平均收益率；qi（i=0n）：公司购买Si的平均损失率；pi（i=0n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。,24,2、 问题的分析 设购买Si的金额为xi，所付的交易费ci（xi）令c0（x0）=0 （1） 投资额M相当大，所以总可以假定
9、对每个Si的投资 xi ui，这时（1）式可简化为 （2）,25,对Si投资的净收益 （3） 对Si投资的风险 （4） 对Si投资所需资金（投资金额xi与所需的手续费ci（xi）之和）即 （5）,26,当购买Si的金额为xi（i=0n），投资组合x=（x0，x1，xn）的净收益总额 （6） 整体风险： （7） 资金约束： （8）,27,3、多目标规划数学模型 我们的想法是净收益总额R（x）尽可能大，而整体风险Q（x）又尽可能小，则该问题的数学模型可归为多目标规划模型，即 （9）,28,模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。 假定投资的平均风险水平 ，则投资
10、M的风险 ，若要求整体风险Q（x）限制在风险k以内，即Q（x）k，则模型（9）可转化为 （10）,29,假定投资的平均收益率为 ，则投资M的收益 ，若要求总的收益R（x）大于等于h，即 R（x）h，则模型（9）可转化为 （11）,30,假定投资者对风险收益的相对偏好参数为，则模型（9）可转化为： （12） 将总收益R（x）与整体风险Q（x）相比，则模型（9）可化为： （13）,31,讨论题 1、某工厂需采购某种生产原料，该原料市场上有A和B两种，单价分别是2元/kg和1.5元/kg，现需求所花的总费用不超过300元，购得原料总重量不少于120kg，其中A原料不得少于60kg。问如何确定最佳采购
11、方案，花最少的钱，采购最多数量的原料，试建立这个问题的模型。,32,2、 选课策略 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时至少学习过两门数学课，三门运筹学课和两门计算机课，这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示，那么毕业时学生最少可以学习这些课程中的哪些课程？ 如果某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多，他可以选修哪些课程？,33,34,模型建立 设 表示选修课表中按编号顺序的9门课程（ 表示不选这门课程, ） 则问题的目标为选修 课程为最少, 即 约束条件有 1.至少选修两门数学课, 三门运筹学课和两门计算机课, 即,35,此外, 某些课程有先选的要求, 例如对最优化方法而言, 必须先选微积分和线性代数.即 应该满足 从而得到约束条件关系 同样, 对其它选修课程的先选关系也可得到相应的约束条件, 整理后得到,36,由此得到相应的规划为,37,在Lingo下面对问题进行求解, 得到解为,若在考虑选修课时达到最小的同时, 还希望所得到的学分达到最大, 则增加目标函数,38,为此引入目标函数向量 终得到目标函数 但是得到问题的解发现选修的课程门数多于6门而达 到7门,如果所考虑的问题是优先门数的话, 则再增加限制条件,39,则得到问题的解为,而此时相应的学分为,