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1、课标版 理数 2.6函数与方程,1.函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x)(xD),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.,(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.,2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度; 第二步,求区间(a,b)的中点x1; 第三步,计算f(x1): a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; b.若f(a)
2、f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1); c.若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b); 第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.,1.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则m的取值范围是( ) A.(-2,6)B.-2,6 C.-2,6D.(-,-2)(6,+) 答案D=m2-4(m+3)0,解得m6或m-2.,2.已知函数f(x)=x3-2x2+2,则下列区间内必存在零点的是() A.B. C.D. 答案Cf(-1)=-10, f(-1)f0,在区间内必存在零点.,3.为了求函数f(
3、x)=2x-x2的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示:,则函数f(x)的一个零点所在的区间是() A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0) 答案C由题表可知, f(1.8)0, f(2.2)0,故选C.,4.函数f(x)=lg x-的零点所在区间是() A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,10) 答案C令g(x)=lg x,h(x)=,g(x)与h(x)图象交点的横坐标即为f(x)的零 点,易知g(2)h(3),结合图象知零点所在区间为(2,3).,5.用“二分法”求方
4、程x3-2x-5=0在区间2,3内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是. 答案(2,2.5) 解析令f(x)=x3-2x-5, 则f(2)=-10, f(3)=160.故下一个 有根的区间是(2,2.5).,典例1(1)(2013天津,7,5分)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为() A.1B.2C.3D.4 (2)(2014北京一一中学模拟,9)“函数f(x)=ax+3在-1,2上存在零点”的充要条件是. 答案(1)B(2)a3或a- 解析(1)易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|=的 根的个数函数y1=|log0
5、.5x|与y2=的图象的交点个数.作出两个函数的图 象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.,函数零点的求解与判断,(2)函数f(x)=ax+3在-1,2上存在零点等价于直线y=ax+3在-1,2上与x轴有交点,所以f(-1)f(2)0,即(-a+3)(2a+3)0,解得a3或a-.,1.判断零点个数的方法:直接求零点:令f(x)=0,求解方程,有几个解就有几个零点;利用零点存在性定理.利用定理不仅要求函数图象在a,b上是连续的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质才能确定函数有几,个零点;画两个函数的图象,有几个交点,就有几个零点.,2.函数的零点、方程的根、函数
6、图象与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是函数零点的个数,即函数图象与x轴的交点的个数.,1-1(1)函数f(x)=的零点个数为; (2)函数f(x)=x3-3x-a在(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是. 答案(1)2(2)(-2,2) 解析(1)当x0时,令f(x)=x2+2x-3=0,得x1=1(舍去),x2=-3;当x0时,令f(x)=- 2+ln x=0,得x=e2,所以函数f(x)的零点个数为2. (2)f(1)=1-3-a=-2-a, f(2)=8-6-a=2-a,f(x)在(1,2)内有零点, 又易知(1,2)是f(x)的增区间, f(1
7、)f(2)0,即(-2-a)(2-a)0, 得(a+2)(a-2)0,-2a2.,典例2(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是() A.B.C.(1,2)D.(2,+) 答案B 解析f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.,函数零点(方程的根)的综合应用,要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,由图可知,k1.,函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也,体现了数形结合思想的应用.,2-1已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值 范围是. 答案 解析x2-3ax+a=+a-a2,函数f(x)的大致图象如图,由题意知,a满 足解得a1.,