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1、题目: 利用函数观点解决方程解问题作者:吕卓亮单位:阳春一中科组:数学联系电话:15875157032邮政编码:529600电子邮箱:fengyun_利用函数观点解决方程解问题内容摘要：本文主要运用数形结合的思想与方法，通过将一些方程解问题灵活转化为函数图像交点问题，巧妙而高效地解决方程解问题.关键词：方程 函数 数形结合在高中数学中，方程问题有很大部分是有关解的个数、解的分布的问题，这类问题一般都可以利用方程自身的相关知识（如判别式等）得到解决，思路直接，容易明白.然而有些时候，也会遇到麻烦：一是方程不是常见的一元一次、一元二次方程，判别式等不再奏效；二是计算繁杂且容易出错.此时，我们希望能
2、另辟蹊径，找到解决此类问题的直观简捷有效的方法，数形结合的思想与方法正是这样的方法，本文主要是探讨通过将方程的根的个数及分布问题转化为函数图像的交点及分布问题，而使问题得到简捷有效的解决.一、不含参数例1：方程的解的个数是 .分析：方程的解的个数等价于函数与图像交点的个数，在同一坐标系上画出两者的图像，易知有三个交点，从而，方程的解的个数是3个.例2：函数的零点所在的大致区间是（ ） A.（6，7） B. （7，8） C. （8，9） D.（9，10）分析：函数的零点等价于方程的根等价于函数与图像交点的横坐标，问题转化为例1的情形，后面解答基本一致.当然本题也可利用零点存在定理通过验证各选项而
3、得出正确答案，但显然没有此解法直观.二、含有参数含有参数的方程解的问题，多了“动”的因素，因此，运用需要动态的研究，而函数图像极好的充当了这个角色.例3：若仅有一解，则实数k的范围是 .分析：同例1、例2思路，令，则方程仅有一解等价于水平动直线与固定函数图像仅有一个交点，在同一坐标系上画出两函数图像，易知，当k=0或k=1时，有唯一交点，题目得解.例4：已知方程的一根分布在区间（-2，0）内，另一根分布在区间（1，3）内，求实数a的取值范围.分析：此题可通过求根公式直接求得两根，再求解不等式而得到答案，但繁杂的计算却让人不想动笔.此时，稍加思考，不难得到其他解题思路，令，则问题转化为函数图像与
4、x轴有两个交点，且一个在（-2，0）内，另一个在（1，3）内，此时只需，解之得 -12a3时，关于x的方程有三个实数解.分析：原方程可整理变形为，显然，x=a是方程的一个解，于是要证明方程有三个实数解，只需证明方程有两个异于a的实数解.思路一：令，则可以得到两函数图像（图略），交点落在第一和第三象限，由a3，易知两交点横坐标都不等于a，从而原方程有三个实数解.思路二：方程也可变形为，再令，画出图像（图略），此时交点落在y轴两侧，且由反证法易得此时，两交点横坐标都不会等于a，从而，原题得证.例6：已知A（3，0），B（0，3），抛物线C的方程是，抛物线C与线段AB有且仅有一个公共点，试求实数m的
5、取值范围.分析：此题不算难，易转化为方程有唯一解的情形而得到解决，然后本题用这种常规解法的出错率极高，原因在于审题不清，把线段想当然的以直线看待，从而解答出错，值得一提的是，此题如采用这种方法解答，由于中间涉及到分类讨论和繁杂的计算，仍然很难得到完整准确的答案.下面介绍三种直观有效的解法思路：思路一：抛物线与线段有且仅有一个公共点等价于方程组有唯一解等价于方程在区间0,3内有唯一实数解.设，则问题又转化为函数y=f（x）的图像在0,3内与x轴有唯一交点（图略），由解得.思路二：令，则问题转化为定抛物线与动直线的图像在0,3内有唯一交点（图略）.易知有，即.思路三：将原方程化为，令，则问题转化为水平动直线与“双勾函数”图像在0,3内只有一个交点（图略）.易知有，即.以上只是其中的几个例子，我们还可以找到很多这类问题，运用数形结合的思想与方法，灵活进行方程解与函数图像交点、函数零点的相互转化，能高效的解决问题，本文主要探讨将方程解问题转化为函数图像交点问题而巧妙解决问题，事实上，不少函数问题若能转化为方程问题也能有效而巧妙的使问题得到解决，不妨自行整理归纳.参考文献：1 王金战、许永忠、李锦旭著.数学是怎样学好的王金战教你玩转数学.北京：北京大学出版社，2010，5.2 文卫星编著.高中数学讲义.上海：上海远东出版社，2007.4