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1、1 等腰三角形性质1(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)(2)理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便(3)适用条件：必须在同一个三角形中(4)应用模式：在ABC中，因为ABAC，所以BC.例1.如图，AD、BC相交于O，ABCD，OAOB，求证：CD.2.等腰三角形性质2(1)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质(2)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他
2、的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛(3)应用模式：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，AD平分BAC(或BD=CD)ABAC，BDDC，ADBC(或AD平分BAC)；ABAC，AD平分BAC，BDDC(或ADBC)例2 .如图，在等腰ABC中，AB=AC，D、E在底边BC上且AD=AE，你能说明BD与CE相等吗？为什么？3等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：；判定：.(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过
3、三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷ABCO例3 如图，BE平分ABC，交AC于E，过E作DEBC，交AB于D.试证明BDE是等腰三角形例4.如图，在ABC中，B和C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由.练习：1.在ABC中，A的相邻外角是110，要使ABC是等腰三角形，则B= .2.如图，AB=AC，BD平分ABC，且C=2A， 则图中等腰三角形共有 个.3.如图，已知D、E是BC边上的点，且BD=CE,下列条件不能判定ABEACD的是（ ）AAB=AC B.AD=AE C.BE=CD D.BDA=CEA4如图，已知在ABC中，在AB
4、上取一点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于点G，有DG=GE，试说明：AB=AC.4.等边三角形的概念和性质(1)等边三角形概念：三边都相等的三角形是等边三角形认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质(2)性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60.例5 如图，点M、N分别在等边ABC的边BC、AC上，且BMCN，AM、BN交于点Q.求证：BQM60.5等边三角形的判定(1)判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形(2)判定方法：等边三角形的判定方法有三种：一是定义，另运用两个定理(3)拓展理解：对于判
5、定定理，有时候在一个三角形中只要有两个角是60也可判定是等边三角形解技巧 巧用条件证明等边三角形在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理；若已知该三角形是等腰三角形，则选判定定理.例6 如图，等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论例7.如下图所示，在等边三角形ABC中，B、C的角平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于E、F，试用你所学的知识说明BEEFFC的道理6含30角的直角三角形的性质(1)性质：在直角三角形中，如果一
6、个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半(2)应用模式：在RtABC中，C90，B30，ACAB.例8. 等腰三角形的底角为15，腰长为2a，则腰上的高为 。PFEDCBA例9.如图，ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BFAE于点F求证:BP=2PF 7等腰三角形性质和判定的综合应用类似于全等三角形的性质和判定的关系，等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性质，可以知道许多相等的线段，相等的角，还能知道垂直关系，成倍数关系的线段或角，所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、线段相等或
7、垂直关系等；另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用，直接由线段相等得到角相等，由角相等到线段相等，省去了全等的证明，简化了过程，因此很多时候，等腰三角形性质和判定的应用更广泛注意：等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中【例10】 如图1，在ABC中，B2C，AD是BC边上的高，求证：CDABBD.图18.巧用“三线合一”性质解题应用：它是等腰三角形特有的性质，这条线段是中线、高，也是角平分线，它包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法【例11】 已知：如图所示，ABC中，ABAC，BF是AC边上的高
8、，求证：FBCBAC. 9面积法证明等腰三角形的性质面积法是解决几何问题常用的一种的方法，它巧妙地运用面积之间的关系，通过计算的方式，求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷，更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的方法面积法的运用，一般以同一个三角形的面积是相等的为基础，运用不同求法，即底不同、高不同、但面积都等于底高的一半，或将一个图形分解成不同的图形来求面积，但面积之和相等通过面积相等联系起各量之间的关系，再运用等式的性质，通过化简求出某些线段的长，或计算出某些线段之间的数量(如比例)关系【例12】 如图1，已知，在ABC中，AB
9、AC，BD为腰AC上的高，G为底边BC上任一点，GFAB，GEAC，垂足分别为F、E.求证：GFGEBD.分析：要证明BDGFGE，按常规思路将BD分成两段，如图2，证明BHGF，DHGE.所以过G作BD的垂线，通过证明三角形全等和判定是矩形完成，既复杂又超出现在所学，但用面积法却简单得多如图3，连接AG，运用面积法，分别表示出ABG和ACG的面积，由于同一三角形面积是相等的，所以SABCSABGSACG，所以ABGFACGEACBD，由于ABAC，经过等量代换和化简即可得到GFGEBD.【例121】 如图，在ABC中，CAE是ABC的外角，在下列三项中：ABAC；AD平分CAE；ADBC，选择其中两项为题设，另一项为结论，组成一个真命题，并证明【例122】 如图，已知ABC中，ACBC24，AO、BO分别是BAC、ABC的角平分线，MN过O点，且MNBA，分别交AC于N、BC于M，则CMN的周长为_【例123】 如图，ABC中，ABC、ACB的平分线BO、CO相交于点O，OEAB，OFAC，OEF的周长10，求BC的长例13.如图：ABC和ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。求证：BE=BD。例14.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ）