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1、Fpg函数奇偶性亠般地，对于函数f(x)(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x)那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称，f ( -x ) =f(x )。(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。关于原点对称，-f ( x )=f ( -x )。奇偶函数图像特征定理奇函数图像关于原点成中心对称图形，偶函数图像关于y轴成轴对称图形f(x)为奇函数V=f(x)图像关于原点对称点(x,y )f( -x,-y)f(x)为偶函数V=f(x)图像关于 Y轴对称点(x,y )f( -x,y )奇函数在某一区间上单调递增，则在它对
2、称区间上也是单调递增。偶函数在某一区间上单调递增，则在它对称区间上单调递减。性质1、偶函数没有反函数(偶函数在定义域内非单调函数)，奇函数反函数仍是奇函数。2、偶函数在定义域内关于原点对称两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称两个区间上单调性相同。3、 奇土奇=奇 偶土偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶奇X偶=奇(两函数定义域要关于原点对称)对于 F ( x) =fg(x)若g(x)是偶函数，则Fx是偶函数FFpgg(x)奇函数且f(x) 是奇函数，则 (x )是奇函数若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F ( x )是偶函数5、奇函数与偶函数定义域必须关于原点对称一、选择题1 .已知
3、函数 f ( x) = ax2 + bx + c ( a 丰 0)是偶函数，那么 g ( x) = ax3 + bx2 + ex ()A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D.非奇非偶函数2. 已知函数 f ( x)= ax2 + bx + 3a + b是偶函数，且其定义域为 a 1, 2a,则()1A. a- - 一 , b = 0. a = ,b = 0. a =, b =0. a =, b = 033. 已知f ( x)是定义在 R上奇函数，当x 0时，f ( x) = x2 2 x,贝U f ( x)在R上表达式是(已知 f ( x) = x5+ ax3 +A. 26b . y =
4、 x (| x | 1)y =1 x | ( x 2)D. y= x (| x | 2bx 8，且 f ( 2) = 10 ,那么f ( 2)等于(18C. 1010函数f (x)2J1+ x 2 +I1A .偶函数B .奇函数C.非奇非偶函数D .既是奇函数又是偶函数若(x) , g(x)都是奇函数，f (x)bg ( x) 2 在(0,上有最大值5,则 f (x)在A .最小值5B .最大值5C .最小值1D .最大值3二、填空题函数f (x)-x 2-22奇偶性为(填奇函数或偶函数)若y =( m 1) x2 + 2mx + 3是偶函数，则 m =已知f ()是偶函数，g ()是奇函数，
5、若f (x) g( x)f (x )6解析式为0所有实根之和为f ( 1 m)vf (m)，求实数10 .已知函数f (x)为偶函数， 且其图象与 x轴有四个交点， 则方程f ( x)三、解答题11 .设定义在 2, 2 上偶函数 f ( x)在区间0, 2上单调递减，若取值范围.12 .已知函数 f ( x)满足 f ( x + y) + f ( x - y) = 2f (x) f ( y) ( x R, y R)，且 f ( 0)工 0, 试证f ( x)是偶函数.13. 已知函数f ( x )是奇函数，且当x 0时，f ( x) = x3 + 2x2 1，求f ( x )在R上表达式.1
6、4. f (x)是定义在(汽5: - :5, +) 上奇函数，且f ( x)在5 ,+乂)上单调递减，试判断f ( x)在(，5:上单调性，并用定义给予证明.15. 设函数 y = f ( x)( x R 且 xm 0 )对任意非零实数X1、X2 满足 f ( X1 X2)= f ( X1)+ f ( X2),求证f ( X)是偶函数.答案：1 ” 1f(X) 一10 .答案：011 .答案：mx 21212 .证明:令=0，有(0)+( 0)= 2( 0)(0)，又(0)工 0，可证(0)= 1.令=0,x yffffffx f ( y) + f ( y) = 2f (0) f (y) f
7、( y) = f ( y)，故 f ( x)为偶函数.函数奇偶性练习参考答案1. 解析：f ( x) = ax2 + bx + c为偶函数，( x) x为奇函数，二()=3+ 2+= ( ) 一满足奇函数条件.g x ax bx cx f x ( x)2 .解析：由f ( x) = ax2+ bx + 3a + b为偶函数，得 b = 0.答案：A又定义域为a 1,12a,. a 1 = 2a,.故选 a.33.解析： 由x 0时，f ( x) = x2 2x, f ( x)为奇函数，x2 2x = x ( x 2)x(x2)( x_0), J一卜_| | 2x( X_ 2)( x 0),答案
8、：D4.解析：f ( x) + 8 =x5+ ax3 + bx为奇函数，f (2 ) + 8 = 18, f ( 2) + 8 = 18, f ( 2) =26.答案：A 当 x V 0 时，(x)= f(x) =( x2 + 2x)=6.解析：0 、()为奇函数，*1 1S3亠为奇函数.(x)g xf ( x) 2a ( x) bg (x)又f(x )在(0,)上有最大值5,f ( x) 2有最大值3 . f(x)2在( a, 0)上有最小值3, f ( x)在( a, 0)上有最小值1 .答案：C7.答案：奇函数8.答案：0解析:因为函数y =( m -1) x2+ 2mx +3为偶函数，
9、 f(x)=f ( x)，即(m 1)( x) 2 +2m ( x) + 3 =( m 1) x2 + 2mx + 3,整理，得5.解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f ( x) + f (x)= 0.答案：Bm = 0. 9.解析：由f ( x)是偶函数，g ( x)是奇函数，可得 f ( x) g( x),联立 f ( X) g( x)1x 113 .解析：本题主要是培养学生理解概念能力.()=3+ 2 2 1 .因 ()为奇函数，( 0) = 0 .f x x xf xf当 xV0 时，一x 0, f ( x) = ( x) 3 + 2 ( x) 2 1 = x3 + 2x2 1 ,
10、f ( x) = x3 2x2 + 1.fx3 - 2 x21(x0),因此，f (x) y 彳0(x - 0),X3-2x21(x0).点评：本题主要考查学生对奇函数概念理解及应用能力.14 .解析： 任取 xiv X2 X2 5 .因 f ( x)在5,+呵 上单调递减，所以f ( xi) v f ( X2)f ( xi)v f ( X2)f ( xi)f ( X2)，即单调减函数.点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化.15 .解析： 由xi, X2 R且不为0任意性，令xi= X2= 1代入可证，f ( 1 )= 2f ( 1 ), f (1)= 0.又令 Xi= X2 = 1 , f 1 X( 1 ) = 2f (1 )= 0，二(1 )= 0.又令 xi= 1 , X2 = x,二 f ( x) = f ( 1) + f ( x) = 0 + f ( x) = f ( x)，即 f ( x)为偶函数.点评： 抽象函数要注意变量赋值，特别要注意一些特殊值，如，X1 = X2= 1 , xi = X2= 1或xi = X2=0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征式子即可.