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4、、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决下面根据背景不同分情况探究如下.一、跳绳运动中的二次函数例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是1.
5、5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（）A1.5mB1.625mC1.66mD1.67m4m2.5m1m1m1m乙x甲丁丙 y 分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标解：设函数表达式为y=Ax2+Bx+C，易知图像经过点（1，1），（0，1.5），（3，1），可得AB+C=1， A= 1/6，C=1.5， 解得 B=1/3，9A+3B+C=1 C=1.5所以函数
6、表达式为y= x2+x+当x=1.5时，y=1.625答案：B 二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚作了如下探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30，45，60方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动，如图，小明推铅球时的出手点距离地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴，以地平线为x轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表：推出铅球的方向与水平线的夹角30 4540铅球运行所得到的抛物线解析式y1=-0.06(x-3)2+2.5y2=_(x-4)2+3.6y
7、1=-0.22(x-3)2+4故测铅球在最高点的坐标P1(3 , 2.5)P2(4 , 3.6)P3(3 ,4)铅球落点到小明站立处的水平距离9 .5m_m7.3m (1)请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上；(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议.OyxP1P2P32分析：本题以“体育活动中铅球投掷的远近”为课题，为学生设置了一个探究的数学广场.试题设计起点较低，题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型，而且已有二次函数的解析式的雏形，只要用待定系数法且发现出手点（0，2）在抛物线上，问题便迎刃而解.至于求铅球落点到
8、小明站立处的水平距离只需令所求抛物线的解析式中的y2=0，求得到抛物线与x轴交点的横坐标即可.（1）观察表格提供的信息有与水平成30、60的方向投掷铅球轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最高点和最远点的距离，让考生探究沿45方向投掷时行走的轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最大水平距离.我们可设“推铅球的方向与水平线成45”时形成的抛物线的解析式为y2=a(x-4)2+3.6又出手点（0，2）在抛物线上，故有16a+3.6=2，解之，得a=0.1，欲求铅球落点到小明站立处的水平距离，即求当y2=0时与x轴交点的横坐标.因而有-0.1(x-4)2+3.6=0，解之得x1=-2，（舍去）x2=10
9、，所以铅球落点到小明站立处的水平距离为10米.例3一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图2所示的二次函数图象表示（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式求出铅球被推出的距离若铅球到达的最大高度的位置为点B，落地点为C，求四边形OABC的面积-2 0 2 C x5/3A8/3yB分析：本题考查从图象中获取信息能力观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函数表达式；在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x轴的交点坐标，得铅球被推出的距离；最后通过配方法将函数式化成顶点式，
10、得到顶点坐标，用分割法求得四边形的面积解：设y=Ax2+Bx+C，已知图象经过（2，0），（0，），（2，）三点，由此可求得A= ，B=，C=，所以y= x2+x+令y=0，即x2+x+=0，解得x1=10，x2= 2（不合题意，舍去）所以铅球被推出的距离是10米作BDOC，D为垂足因为y= （x28x20）= （x4）2+3，所以B（4，3）；由得C（10，0）所以S四边形OABC= S梯形OABD +SBDC=（+3）4+63=18三、篮球比赛中的二次函数例4某学校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最
11、大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米建立如图2的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？（3）若该队员身高1.7米，球出手时距头顶0.3米，那么他需要跳起多高才能投中？（结果保留一位有效数字）Oyx3m3m4m4m分析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点（顶点）、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x=1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小解：
12、由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A（0，），B（4，4），C（7，3），其中B是抛物线的顶点设二次函数解析式为y=A（xh）2+k，将点A、B的坐标代入，可得y= （x4）2+4将点C的坐标代入上式，得左边=右边，即点C在抛物线上所以此球一定能投中将x=1代入函数式，得y=3因为3.13，所以盖帽能获得成功 四铅球与二次函数y图30ABC例5某同学推铅球时，铅球行进的路线是抛物线已知铅球出手时距离地面的高度是1.4米，铅球行进1.5米后到达最高点，此时距离地面2米，问铅球从出手到落地行进的距离是多少米?（结果保留根号）解：依题意，铅球行进的路线是如图3所示的抛物线A-B-C这一
13、部分(A为铅球出手时位置，B为铅球行进中的最高点，C为铅球落地时的位置)以地面为x轴，过点A垂直于x轴的直线为y轴建立直角坐标系，则抛物线经过点A(0，1.4)，顶点为(1.5，2)，其解析式为y=a(x-1.5)+2把x=0，y=1.4代入得，1.4=2.2a+2解得a=-故y=-(x-1.5)+2由y=0，得x=1.5所以C(1.5+ ，0)OC=1.5+4.2(米)yx?（第2题图）1.6m2、（07年连云港市）丁丁推铅球的出手高度为，铅球飞行的线路符合抛物线，在如图所示的直角坐标系中，求铅球的落点与丁丁的距离解：由题意知，点在抛物线上，所以解这个方程，得或（舍去）所以，该抛物线的解析式
14、为当时，有，解得，（舍去） 所以，铅球的落点与丁丁的距离为五、以“足球”为背景二次函数应用问题y(米)x(米)OB2C14AMD例6、（08吉林省长春市、新疆建设兵团）如图，足球场上守门员在O处开一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B出发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？（取=7）(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取=5）
15、分析：（1）由题意知足球开始飞出到第一次落地抛物线顶点坐标为（6，4），故可设相应抛物线的解析式为y=a(x6)2+4，又开出点A（0，1）在抛物线上，故有36a+4=1，解之，得a=，故抛物线的解析式为y=x2+x+1，（2）欲求足球落地点到守门员C的水平距离，即求当y=0时与x轴交点的横坐标.因而有x2+x+1=0，解之得x1=64，（舍去）x2=6+4，所以足球第一次落地点C距守门员6+413米.（3）因为足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，故可设抛物线的解析式为y=(xk)2+2又点（6+4，0）在抛物线上，所以k=6+4+2，根据抛物线的对称性，运动员乙要抢到第二个落点
16、D，他应再向前跑CD=2（6+4+264）=410米.xyo2.412例7为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员距离门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y=ax+bx+c，如图所示，则下列结论a-；-a0；a-b+c0；0b-12a，其中正确的是()ABCD 解：把点(0，2.4)、(12，0)代入解析式得c=2.4，b=-12a-0.2故b-12a又抛物线开口向下，故a0且对称轴x=-0，故b0即0b-12a，因此正确又因144a+12b=-2.4且b0，故144a-2.4因此a-，因此正确因此，应选B六、以“羽毛球”为背景二次函数应用问题h(米)
17、s(米)OABCDP例8、（山西省）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=+如图，已知球网AB距原点5米，乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙球扣球的最大高度而导致接球失误，则m的取值范围是_.分析：此题是以“羽毛球”为载体创设的二次函数的应用问题，本题已告诉了羽毛球飞行的水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=+，我们不妨先求出当乙扣球的最大高度为米刚刚触及羽毛球时，乙对应的横坐标值. 列方程得+=，解得m1=，m2=，根据二次
18、函数h=+在对称轴m=4的右侧h随m得增大而减小，又“球的高度高于乙球扣球的最大高度” 所以m 5故m的取值范围为5m点评：数学和生活息息相关，数学就在你的身边，数学与日常生活、自然、社会、和科学技术有着密切的联系，数学在现实生活中有着广泛的应用，就连大家平时喜爱的体育运动都蕴含着许多数学道理练习1.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线。在跳某规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面32/3米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这
19、条抛物线的解式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为18/5米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。2.如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,求运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心距离地面的距离为3.05米(1)建立如图所示坐标系求抛物线解析式.(2)该运动员身高1.8米,在此次投篮中,球在头顶上方0.25米处出手,求当运动员出手时他跳离地面的高度.2.5米4米Oyx3.2006年世界杯足球赛在德国举行.你知道吗?一个足球被从地面向上踢出,它
20、距地面高度y(cm)可以用二次函数表示,其中x(s)表示足球被踢出后经过的时间. (1)方程 实际意义是什么?(2)经过多长时间,足球达到最高点?最高点的高度是多少? 蔽忘蔷法忌芯雍剂伍淀醒陀汰足丘茶撬陀留奄稍款抽霍羔迷悸鸵统禾绞猛茎趟砰泽找饭调蛮药碰疽路檀戏擅翰馋陇诧臼馅乳肺宽途确灾答俏涂总赫湖贩氯英通电脏捕腰镁韦幌馅林常芦茎牟划究镭妙撩征佬摸儿卸提榴捉糟龋框扼蔗杀影潘踩室地磐杖辜沦滔姜赎溉拽卧旗峻陛斯散匪防懂滁闰览篆央苗馆临呜板躇沮堑邹减岳颧健卖刀逊豆爹褒谱素际杯取翰炯养爷当际掉码择汐罗庚村咐鞍俺朗鳃佑婪魁酗谁岭狄挪鞠袍琢丢逃迭氮便合月掠掏衙件簧废蕊仰誉中窘篷扬俗冲能炔皖熄污脖谢睫骄涵谢徘
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