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1、2021年哈尔滨铁道职业技术学院单招数学模拟试题含答案解析2021哈尔滨铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合01M =，012345I =，则I M e为（ ） 01，2345，02345， 12345，2函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） 42 23函数1()lg4xf x x -=-的定义域为（ ） (14)， 14)， (1)(4)-+U ，(1(4)-+U ， 4若tan 3=，4tan 3=，则tan()-等于（ ） 3-13- 3 135设292110
2、1211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x +=+L ， 则01211a a a a +L 的值为（ ） 2-1- 126一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ） 132164332 3647连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）1- 32 1 328若02x ，则下列命题正确的是（ ） 2sin x x 2sin x x 3sin x x3sin x x 9四面体ABCD
3、 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AD =A B ，间的球面距离是（ ） 63235610设32:()21p f x x x mx =+在()-+，内单调递增，4:3q m ，则p 是q 的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件11四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）214h h h 123h h h 324h h h 241h h h 12设椭圆22221(
4、0)x y a b a b +=的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）必在圆222x y +=上 必在圆222x y +=外必在圆222x y +=内以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分请把答案填在答题卡上 13在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，(11)B ，则AB AC =u u u r u u u r g14已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a += 15已知函数
5、()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 16如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H 有下列四个命题点H 是1A BD 的垂心 AH 垂直平面11CB D二面角111C B D C -点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分12分）已知函数21(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+=?+（1）
6、求常数c 的值； （2）解不等式()18f x +18（本小题满分12分）如图，函数2cos()(00)2y x x =+R ，的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为（1）求和的值；（2）已知点 2A?，点P是该函数图象上一点，点00()Q x y，是PA的中点，当0y= 2x?，时，求 x的值19（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率20（本小题满分12分）右图是一个直三棱
7、柱（以111A B C为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知11111A B B C=，11190A B C=o，14AA=，12BB=，13CC=（1）设点O是AB的中点，证明：OC平面111A B C；（2）求AB与平面11AAC C所成的角的大小；（3）求此几何体的体积21（本小题满分12分）设n a为等比数列，11a=，23a=（1）求最小的自然数n，使2021na；（2）求和：212321232nnnTa a a a=-+-L22（本小题满分14分）设动点P到点1(10)F-，和2(10)F，的距离分别为1d和2d，122F PF=，且存在常数(01)得212sind d
8、=（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）如图，过点2F的直线与双曲线C的右支交于A B，两点问：是否存在，使1F AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 二、填空题131 147 15(14)， 16A ，B ，C 三、解答题17解：（1）因为01c ，即3918c +=，12c = （2）由（1）得411122()211x x x f x x -?+0?=?1?+，由()1f x 得， 当102x 时，解得142x 112x 28x 所以()18f x +的解集为5
9、8x ? 18解：（1）将0x =，y =2cos()y x =+中得cos = 因为02，所以6= 由已知T =，且0，得222T =（2）因为点02A ? ?，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =所以点P 的坐标为022x ?- ?又因为点P 在2cos 26y x ?=+?的图象上，且02x ，所以05cos 46x ?-=?， 075194666x -，从而得0511466x -=或0513466x -=， 即023x =或034x = 19解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0
10、.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B = （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-?=g ；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ， 则11()()0.42P A P A B =，22()()0.45P B P A B = 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P AB AB +=?+?=解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +=
11、20 解法一：（1）证明：作1OD AA 交11A B 于D ，连1C D 则11OD BB CC ， 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+=则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ，1C D ?平面111C B A ，且OC ?平面111C B A则OC 面111A B C （2）解：如图，过B 作截面22BA C 面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作22BH A C 于H ，因为平面22A BC 平面11AAC C ，则BH 面11AAC C 连结AH ，则BAH 就是AB 与面11AAC C 所成的角因为2
12、BH =，AB =sin 10BH BAH AB =AB 与面11AAC C所成的角为BAH = （3）因为2BH =，所以222213B AAC C AA C C V S BH -=g 111(13222=+=g g 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -=g g 所求几何体的体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V -=+= 解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，(002)B ，(103)C ，因为O 是AB 的中点，所以1032O ?， 1102OC ?=- ?u u u r ，
13、易知，(001)n =r，是平面111A B C 的一个法向量 由0OC n =u u u r rg且OC ?平面111A B C 知OC 平面111A B C （2）设AB 与面11AAC C 所成的角为求得1(004)A A =u u u r ，11(110)AC =-u u u u r ，设()m x y z =u r ，是平面11AAC C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ?=?=?u u u r u r g u u u u r u rg 得00z x y =?-=?， 取1x y =得：(110)m =u r， 又因为(012)AB =-u u u r， 所以，c
14、os m ，m AB AB m AB=u r u u u r u u u r g u r u u u r gsin = 所以AB 与面11AAC C所成的角为arcsin （3）同解法一21解：（1）由已知条件得112113n n n a a a -?= ?g ，因为67320213n n nT -=-+-+-L ， 2234212112342123333333n n n n nT -=-+-+-L ， +得：2232124111121333333n n n n T -=-+-+-L2211231313n n n -=-+ 22333843n nn -=g g所以22223924163n n
15、nn T +-=g 22解：（1）在12PF F 中，122F F =22221212121242cos 2()4sin d d d d d d d d =+-=-+212()44d d -=- 12d d -=2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F为焦点，实轴长2a =方程为2211x y -=- （2）方法一：在1AF B 中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d = 假设1AF B 为等腰直角三角形，则 12343421323422sin 4d d a d d a d d d d d d ?-=?-=?=+?=?=?L L L L L 由与得22d
16、 a =，则1343421)d a d d d a a=?=?=-=? 由得342d d =， 21)2a =(8)2-=， (01)=，故存在1217-=方法二：（1）设1AF B 为等腰直角三角形，依题设可得 21212212122sin 81cos 4sin 24AF AF AF AF BF BF BF BF ?=?-?=?=?g g g g g g所以12121sin 1)24AF F S AF AF =g ，121212BF F S BF BF =g 则1(22)AF B S =+由12122221AF F BF F S AF S BF =+，可设2BF d =，则2(21)AF d =+，1(22)BF AB d =+ 则122211(22)22AF B S AB d =+ 由得2(22)2d +=根据双曲线定义12221BF BF a -=-可得，(21)21d +=- 平方得：22(21)4(1)d +=- 由消去d 可解得，1222(01)17-=， 故存在122217-=满足题设条件