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1、第三章 概率 单元复习,郭嗣明 2011.10,知识结构,随机事件,随机数与随机模拟,知识梳理,1.事件的有关概念,（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件.,（3）随机事件：在条件S下，可能发生也可能不发生的事件.,（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件.,2.事件A出现的频率,在相同的条件S下重复n次试验，事件A出现的次数为nA与n的比值，即,3.事件A发生的概率,通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值.,4.事件的关系与运算,（1）包含事件：如果当事件A发生时，事件B一定发生，则 （或 ）.,（2）相等事件：若 ，且 ， 则A=B.,（3）并事件（和事件）：当且仅当事
2、件A发生或事件B发生时，事件C发生，则 C=AB（或A+B）.,（4）交事件（积事件）：当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则 C=AB（或AB）.,（5）互斥事件：事件A与事件B不同时发生，即AB.,（6）对立事件：事件A与事件B有且只有一个发生，即AB为不可能事件，AB为必然事件.,5.概率的几个基本性质,（1）0P(A)1.,（2）若事件A与B互斥，则 P（AB）P（A）P（B）.,（3）若事件A与B对立，则 P（A）P（B）=1.,6.基本事件的特点,（1）任何两个基本事件是互斥的.,（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.,8.古典概型的概率公式,7.古典概
3、型,一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.,9.几何概型,每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例.,10.几何概型的概率公式,11.随机数,（1）整数随机数：对于某个指定范围内的整数，每次从中有放回随机取出的一个数.,（2）均匀随机数：在区间a，b上等可能取到的任意一个值.,12. 随机模拟方法,利用计算器或计算机产生随机数，从而获得试验结果.,例题分析,【例1】袋中有10个球，其中8个白球，2个黄球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1)A：取出的两球都是白球； (2)B：取出的两球一个是白球，另一个
4、是黄球,思路分析：首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A：取出的两球都是白球的总数和事件B：取出的两球1个是白球，而另1个是红球的总数套用公式求解即可,解：设8个白球的编号为1,2,3,4,5,6,7,8,2个红球的编号为9,0，从袋中的10个小球中任取两个的方法共45个 (1)从袋中的10个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从8个白球中任取两个的方法总数，共有28个 取出的两个球全是白球的概率为P(A)=,(2)从袋中的10个球中任取两个，其中一个红球，而另一个为白球，其取法共8*2+2*8个 取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B) .,变式训练
5、,现有一批产品共10件，其中8件正品，2件次品 (1)如果任取一件然后放回，再任取一件然后放回，再任取一件，求连续3次取出的都是正品的概率 (2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率,解：(1)有放回地抽取3次按顺序(x，y，z)记录结果，则x，y，z各有10种可能故试验的所有结果即基本事件总数n1031000.设事件A为“连续3次取出的都是正品”，则x，y，z各有8种可能，即事件A包含的基本事件数nA88883.,(2)一次取3件可认为连续取三次且是不放回抽取，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x有10种可能，y还有9种可能，z只有8种可能，故(x，y，z)共有n1098种不同结果 设
6、事件B为：“3件都是正品”，则x有8种可能，y还有7种可能，z只有6种可能故事件B包含的基本事件数nB876种,例题分析,【例2】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘船都不需要等待码头空出的概率.,解：设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，则0 x24,0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24,集合A为右图中阴影部分，全部结果构成集合为
7、边长是24的正方形由几何概型公式得，所求概率为P(A) 0.879. 答：两船都不需要等待码头空出的概率约为0.879.,如图，在三角形AOB中,已知 AOB=60,OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C （1）求AOC为钝角三角形的概率 （2）求AOC为锐角三角形的概率,A,O,B,变式训练,一、关于互斥事件与对立事件概念的理解 互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生 所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥 若事件A1，A2，A3，
8、An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An),应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)1P( )求解,二、古典概型 三、几何概型 四、概率中的数学思想 （1）对于求“至多”“至少”等事件的概率问题，常常利用补集思想，即求对立事件B的概率P(B)，然后利用1P(B)求得原来事件的概率 （2）分类讨论思想可将复杂问题分解成几个简单问题，起到
9、化整为零的作用，然后再各个击破比如，在本章中求概率时，要考虑各种情况对应的结果数，就要分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏,巩固练习,1下列说法： 必然事件的概率为1； 如果某种彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖； 某事件的概率为1.1； 互斥事件一定是对立事件； 在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型其中正确的说法是() A B C D,2甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是(),A,B,C,D无法确定,3有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为(),4.某城市2008年的空气质量状况如
10、下表所示： 污染指数T不大于30(30,60(60,100(100,110(110,130(130,140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T140时，空气质量为轻微污染，该城市2008年空气质量达到良或优的概率为() A. B. C. D.,5(2009聊城市模拟)连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n作为点P(m，n)的坐标，那么点P落在圆x2y217外部的概率为() A. B. C. D.,6从(0,2)中，随机地取两个数，两数之和小于0.8的概率为_ 7.从甲乙丙丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率为_,8.从含有两件正品a、b和一件次品c的三件产品中每次任取一件，连续取两次，求下列条件下取出的两件产品中恰有一件次品的概率： (1)每次取出不放回；(2)每次取出后放回. 9已知棱长为2的正方体的内切球O.若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？,